Meiner Mutter

»Das giebt dem Golde die Farbe der Sonne, daßs man ins Feuer es wirft!« [Hölderlin, Hyperion]

 Für meine liebe Mutter

Wittgensteins N-Operator im »Tractatus«

In Wittgensteins »Tractatus logico-philosophicus« wird ein logischer Operator eingeführt, um die allgemeine Satzstruktur (in formallogischer Hinsicht) zu klären: der N-Operator. Es handelt sich um einen Operator, dessen Operanden (Aussage-) Sätze sind, Propositionen genannt, die einen von zwei Wahrheitswerten annehmen. Der Operator stellt eine Wahrheitsfunktion dar, das heißt eine Funktion (im mathematischen Sinne), welche in Abhängigkeit von den jeweiligen Wahrheitswerten ihrer Argumente ebenfalls Wahrheitswerte als Funktionswerte liefert. Aber anders als übliche Funktionen mit fester Stellenzahl ist der N-Operator für eine beliebige Stellenzahl erklärt. Er wirkt nämlich als monadischer, als dyadischer, als triadischer etc. Operator, je nachdem welche Anzahl von Operanden auftritt, fungiert also für n Operanden als n-adischer oder n-stelliger Operator. Aus technischer Sicht der digitalen Schaltalgebra liegt der Typus des NOR-Gatters (NOR gate) mit variabler Anzahl von Anschlüssen für den Input vor, wobei mit NOR gemeint ist, daß die (kombinierte) Operation »not-or« ausgeführt wird. Der Output eines ähnlichen Schaltkreises, des NAND-Gatters (NAND gate), wird erzeugt, indem der anstehende Input gemäß der Operation »not-and« umgewandelt und anschließend ausgegeben wird, wobei beide Gatter die Negation »not« erst nach der logischen Verknüpfung der Eingangssignale gemäß der Disjunktion »or« beziehungsweise der Konjunktion »and« vornehmen. Wollte man digitale logische Schaltungen auf einen einzigen Typus von vorgefertigen Schaltkreisen reduzieren, wäre jeder der beiden logischen Bausteine geeignet, sämtliche anderen Typen zu ersetzen. In der formalen Logik läßt sich für den Fall von zwei Operanden die Wirkung des NOR-Gatters durch den Peirce-Pfeil symbolisieren, während dem NAND-Gatter das Symbol des Sheffer-Strichs entspricht. Beide werden definiert als:

Die genannten Operatoren sind dual zueinander. Sie waren Peirce (um 1880) beide bekannt, und er wußte auch was von Sheffer (1913) bewiesen wurde, daß nämlich die logischen Operationen in der Boolschen Algebra auf einen von beiden zurückführbar sind. Im »Tractatus« (1921) knüpft Wittgenstein an Sheffer an, Peirce hatte seine eigenen Ergebnisse nicht veröffentlicht, doch benannt ist der betreffende Operator inzwischen nach Peirce, nicht nach Sheffer.

In Form des N-Operators wird der Peirce-Pfeil verallgemeinert, indem keine bestimmte Anzahl von Operanden in dessen Definition angegeben wird: Es werde als Resultat der Operation der Wahrheitswert »falsch« geliefert, wenn und nur wenn mindestens einer der Operanden den Wert »wahr« annimmt, andernfalls sei das Resultat »wahr«. Dies charakterisiert den N-Operator in seiner Wirkung, ohne seine Anwendung an irgendeine feste Stellenzahl zu koppeln. Insofern egeben sich folgende logische Äquivalenzen:

Anhand des N-Operators lassen sich sämtliche logischen Junktoren einführen oder nachbilden, ob einstellig oder mehrstellig, wie Negator, Konjunktor, Disjunktor oder Adjunktor, Konditional, Bikonditional oder Äquivalenz etc. Unter einer Junktorenbasis ist eine Auswahl von Junktoren zu verstehen, mittels derer sämtliche anderen Junktoren definierbar sind. Solche Mengen von Junktoren werden als funktional vollständig bezeichnet. Beispielsweise bilden die beiden Junktoren der Negation und des Konditionals (materiale Implikation) eine Junktorenbasis, ebenso die Negation gemeinsam mit der Konjunktion oder der Disjunktion. Eine Junktorenbasis bildet auch der Peirce-Pfeil allein, ebenso der Sheffer-Strich allein. Wie sich der N-Operator dazu eignet, andere Junktoren zu definieren oder zu emulieren, zeigt sich an folgenden Entsprechungen:

Auf ähnliche Weise sind sämtliche weiteren n-adischen Operatoren der Junktorenlogik definierbar. Dasselbe ist mittels des Peirce-Pfeils oder des dazu dualen Sheffer-Strichs erreichbar, allerdings weisen beide eine feste Stellenzahl auf, was bei Wittgensteins N-Operator eben vermieden wird. Weniger elegant, doch nicht weniger allgemein wäre es, statt Wittgensteins N-Operator einen jener beiden zueinander dualen Operatoren zu wählen. Übrigens gehört zu Wittgensteins N-Operator ebenfalls ein dualer, der als solcher den Sheffer-Strich anstelle des Peirce-Pfeils verallgemeinert. In der Schaltalgebra entspricht, wie gesagt, dem Peirce-Pfeil ein NOR-Gatter und dem Sheffer-Strich ein NAND-Gatter, jeweils mit zwei Eingängen. Werden die beiden Eingänge leitend miteinander verbunden, das heißt kurzgeschlossen, so wirkt sowohl das NOR als auch das NAND-Gatter wie ein Inverter, welcher die Negation des digitalen Eingangssignals liefert, denn es gelten die Äquivalenzen:

In den angegebenen Formeln zeichnet sich ab, inwiefern im Rekurs auf den N-Operator von Wttgenstein die beabsichtigte strukturelle Vereinheitlichung verschachtelter Junktoren erzielbar ist, um die formale Diversität logischer Operatoren auf einen einzigen Operationstyp zu reduzieren. Wenn die Bedeutung eines Satzes nicht von oberflächlichen Umformungen beinflußt wird, sondern allein von dessen Wahrheitsbedingungen abhängt, wobei letztere in logischen Operatoren codiert sind, dient es der formalen Einheitlichkeit und Durchsichtigkeit, wenn auch nicht der Bequemlichkeit, eine einzige logische Operation als fundamental auszuzeichnen und andere Operationen dadurch auszudrücken. Ohne eine gewisse Konvergenz der komplexen Formen gleichbedeutender Propositionen ergäbe sich kein Anhaltspunkt, an dem so etwas wie eine allgemeine Satzform festzumachen wäre.

(Copyright by Peter Gold)

Black Box in der Krise

Während einer der letzten Krisen der Weltwirtschaft, die kamen und gingen, ohne die erschütterte und erschütternde Ökonomie zu bessern, wurde zur Anregung eines abflauenden Geschäftszweigs ein Rezept angewandt, das wir seit langem kennen. Man verkaufte etwas unter Wert, um anschließend auf seine Kosten zu kommen, sobald die Folgekosten jener billigen Anschaffung anfielen. Es handelte sich um eine Black Box, die für vier Mark zu haben war.

Seit 1930 gebaut, verhalf die fast leere Kiste der heute vom Markt verdrängten Fima Agfa zu unerwartetem Umsatz, als 1932 eine Werbe- und Preis-Kampagne eingeleitet wurde, um weiterhin Kameras samt Rollfilmen zu verkaufen. Immerhin war in Deutschland, wo man neben den Vereinigten Staaten am empfindlichsten unter der weltweiten wirtschaftlichen Krise litt, das Volkseinkommen um 40% geschrumpft, während die Arbeitslosenquote 1932 auf etwa 44% anstieg. In den USA lag der Prozentsatz von Arbeitslosen bei 24% und der Einbruch des gesamten Einkommens betrug dort mehr als 50%. Das ungeahnte Ausmaß der Depression gab der Ökonomie Rätsel auf. Daß die kurzfristigen Folgen zielstrebigen ökonomischen Handelns unberechenbarer erschienen als die gezielte Umsetzung langfristiger Absichten, war seit langem bekannt, aber daß beides in solchem Ausmaß voneinander abwich, zeugte von der Ohnmacht ökonomischer Konzepte und Modelle. Bevor John Meynard Keynes “The General Theory of Employment, Interest, and Money” verfaßte, ein Werk, das 1936 erschien, äußerte er sich nicht unironisch zur Relevanz ökonomischer Langzeitprognosen: “The long run is a misleading guide to current affairs. In the long run we are all dead. Economists set themselves too easy, too useless a task if in tempestuous seasons they can only tell us when the storm is long past, the ocean will be flat.”

Welches die richtigen Fragestellungen gewesen wären, um die kritische Situation richtig einzuschätzen, bleibe dahingestellt, dennoch blieben überzeugend klingende Antworten nicht aus. Als Einzelnem blieb einem anscheinend nichts weiter übrig, als zum Konsum aller sowie zum Konsens aller das seinige beizutragen. An Anreizen fehlte es nicht. Eines der Stichworte lautete “Volkskamera”, und bekanntlich folgte der “Volkswagen” sowie der “Volksempfänger” nebst manchem anderen nach. “Wer photographiert, hat mehr vom Leben”, war in der Schaufensterwerbung der Läden zu lesen. Fotografie war alltäglich geworden. Chamois gefärbte Abzüge mit unregelmäßigem Büttenrand waren etwas, das man sich leistete, nachdem die preiswerte Kamera einmal gekauft worden war. Vier Markstücke mit den Prägebuchstaben A, G, F und A waren hinzulegen, damit die “Preis-Box”, wie sie genannt wurde, über den Ladentisch ging. Samt nachfolgender Modelle erwies sich jene Box als krisenfest. Trotz miserabler wirtschaftlicher Verhältnisse, die in noch miserablere politische Verhältnisse umschlugen. Wegen des anhaltenden Absatzes der unscheinbaren Box ging die Rechnung auf, wobei etwa 800 Arbeitsplätze zusätzlich anfielen, um die steigende Nachfrage zu decken.

Als leicht bedienbarer Apparat, der überall parat war, wo es bei Tageslicht etwas zu fotografieren gab, erinnerte die belederte Box von Agfa an die legendäre ‘Brownie’ von Kodak. Seit 1888 standen “Schnappschüsse” (snapshots) unter dem Motto: “You press the button, we do the rest.” Im Klang des Names ‘Kodak’, eigens ausgedacht für eine weltweite Vermarktung in verschiedenen Sprachen, schwang nicht unbeabsichtigt das Geräusch des ausgelösten Verschlusses mit, dessen Resonanzkörper das voluminöse Kameragehäuse bildete. Für einen einzigen Dollar hatte man um 1900 einen eigenen Auslöser zur Hand, der Rest kostete jedesmal weiteres Geld.

Das Knipsen griff um sich und wirkte ansteckend. Billige Boxen ähnlicher Bauart teilten sich den Markt. Von Agfa wurden solche Boxen so oft verkauft, daß sie aneinandergestellt von Berlin bis Stettin reichten, wie es seitens der Firma hieß. Anspruchslos konstruiert, war technisch alles auf Sonnenschein ausgelegt, für’s bessere Leben eben. Es entstanden im lichtdichten Inneren jener volksnahen Kamera Bilder einer Zeit, die finsterer werden sollte, als es in einer Black Box jemals werden kann.

(Copyright by Peter Gold)

Im Orbit

Wer sich davonstehlen will von ‘unserem’ Planeten, zumindest virtuell, kann dessen angestaubte Atmosphäre verlassen, indem er sich einem Delta-Gleiter anvertraut, um sich mühe- aber nicht gedankenlos ins All zu versetzen. Dahinter steckt ein ausgeklügeltes Programm namens Orbiter, ein Space Flight Simulator von Martin Schweiger, kostenlos und anspruchsvoll, der von allen Seiten unterstützt wird. Inzwischen gibt es diverse Ergänzungen und Erweiterungen des Szenarios, das grafisch und physikalisch ein einziges Lehrstück ist, ohne auch nur im geringsten daran zu erinnern. Es läßt sowohl die echte Physik des Planetensystems anschaulich werden, als auch die echte Technik, frei von der ansonsten überall anzutreffenden Umdeutung durch aggressive Computerspielereien, welche am rücksichtslosen Kriegszustand primitiver Individuen interessierter sind als an irgendeiner intellektuell angehauchten Auseinandersetzung mit komplexen Wechselwirkungen in der wirklichen Natur. Nicht auf das blinde Einsammeln erwerbbarer Punkte kommt es an, nicht darauf, sich in einem ausgedachten engen Spielraum auszukennen, sondern darauf, einen echten Ausflug zu machen, um sich mit offenen Augen in die Weite des Raums zu begeben. Dort einigermaßen zurechtzukommen, fiktiv oder nicht, läßt alberne Spielchen verblassen, weil es darum geht, Gesetzmäßigkeiten zu begreifen, die sich nicht durch geeignete Gadgets überspielen oder durch forsches Auftreten umgehen lassen. Kampf ist nicht angesagt, nur mit sich selbst kämpft man im Orbit sowie bei der Rückkehr, denn nichts geht einem leicht von der Hand, wenn man die Steuerung selbst übernimmt. Die Komplexität der Simulation und das Spektrum wichtiger Parameter ist beeindruckend, auf unrealistische Effekte wird verzichtet, und der entwaffnende technische Aufwand sorgt völlig waffenfrei für eine angespannte Stimmung, anfänglich schwankend zwischen unterschwelliger Aufregung und schierer Verzweiflung. Um in den Orbit zu gelangen, sind keine unbekannten Gegner auszuschalten, sondern bekannte Gesetze auszunutzen. Der menschlichen Natur liegt wohl nur eines von beidem, ohne selbst Schaden dabei zu nehmen. Mit ‘Orbit’ ist vielleicht auch gemeint, sich auf zuverlässiger Bahn zu bewegen, einer eleganten Kurve folgend, im Einklang mit allem, was es außer uns gibt, außer Irdischem. Keine Spur absichtlicher Vernichtung oder unabsichtlicher Zerstörung hinter sich herzuziehen, wäre etwas, das sich zu lernen lohnt. Sei es auch bloß am Computer. Wie es am Bildschirm zugeht, zeigt auch manches, was auf keinem Bildschirm zu sehen ist und in Wirklichkeit ganz anders aussieht. Was über den Schirm flackert, ersetzt den Widerschein des Feuers an den schlichten Wänden der eigenen Höhle. Den Blick abzuwenden, gelingt nicht ohne weiteres, aber um am Schirm den Alltag zu vergessen, scheint das All einen Ausweg zu bieten. Ablenkung ist es nicht, worauf es ankommt. Was sich als Progamm bei ‘http://orbit.medphys.ucl.ac.uk/orbit.html’ herunterladen läßt, wirkt wie Science-Fiction und Science-Friction zugleich. Es wird einem eine ernsthafte Anstrengung abverlangt, bei der man buchstäblich den Boden unter den Füßen verliert.

(Copyright by Peter Gold)

Kausalität laut Aristoteles’ Physik

Bedenkt man, daß aitia neben ‘Ursache’, ‘Grund’ oder ‘Anlaß’ auch ‘Schuld’ bedeutet (aitios = schuldig, schuld, verantwortlich; der Schuldige, Urheber, Täter), so zielt die Frage nach Kausalität darauf ab, zu erfahren, was an etwas ’schuld’ ist.

Um die von Aristoteles unterschiedenen ‘Ursachen’, nach denen gefragt werden kann, zu typisieren, ohne sie zu verdinglichen, ist es am besten, die Frage so neutral wie möglich zu formulieren:

Was (alles) ist schuld daran, daß etwas (ein Ding) das ist, was es ist, und daß es so ist, wie es ist?

Wird nach diesem Schema gefragt, wobei das Wort ‘Ursache’ nicht unabsichtlich vermieden wird, werden die Antworten unter vier verschiedenen Aspekten erfolgen, je nachdem, worauf Bezug genommen wird:

1. causa materialis: das Material, aus dem etwas besteht (woraus ist das Ding gemacht?)
2. causa formalis: die Form, die etwas aufweist (wie ist das Ding geformt?)
3. causa efficiens: die Weise, wie etwas entstanden ist (wie ist das Ding zu diesem Ding geworden?)
4. causa finalis: der Zweck, den etwas erfüllt (wozu ist das Ding gedacht?)

Statt nach einem ‘Ding’ oder einem ‘Gegenstand’ kann auch nach einer ‘Sache’ gefragt werden, oder neutraler nach einer Entität, nach irgendetwas. Eine ‘Ursache’ ist nun nicht ihrerseits eine ‘Sache’ oder ein ‘Ding’ im selben Sinne, sondern sie ist auch nur – irgendetwas.

(Copyright by Peter Gold)

Seminar: »Formale Logik«

Mein Seminar zur Einführung in die »Formale Logik« im Sommersemester 2009 findet vom 16.03.09 bis 20.03.09 um 09:00-18:00 Uhr am Campus Westend im Hörsaal IG 457 der Universität Frankfurt statt. Behandelt wird die Junktoren- und Quantoren-Logik. Es ist keine Voranmeldung zur Teilnahme an der Lehrveranstaltung erforderlich. Den Abschluß des Blockseminars bildet eine Klausur, die voraussichtlich nachmittags am 23.03.09 geschrieben wird.

Die Summe in der Suppe

Ein kleines Mädchen, gelangweilt von den Gesprächsfetzen bei Tisch, die es kaum noch wahrnimmt, starrt in den Suppenteller. Dem Blick bietet sich ein nettes Durcheinander von Buchstaben dar, denn was da langsam erkaltet, ist eine Buchstabensuppe. So klein ist das Mädchen nun auch wieder nicht. Seit es gelernt hat zu buchstabieren und zu schreiben, weiß es, welcher Buchstabe auf welchen folgt, ähnlich wie beim Zählen ja eine Zahl nach der anderen kommt. Aber was kommt nach dem ‘Z’, dem letzten Buchstaben im Alphabet? Als sie darüber nachgrübelt, fällt der Kleinen plötzlich ein, daß ihr älterer Bruder mal von ‘Buchstabenrechnung’ gesprochen hat, die sie gerade durchnähmen. Erklärt hat er weiter nichts. Was das wohl sein mag, ‘Buchstabenrechnung’? Ist es etwa so, daß Buchstaben genau wie Zahlen nicht nur aufeinanderfolgen, sondern auch zusammengezählt werden können. Dann gäbe es wohl so eine Art ‘Suppenrechnung’, bei der Buchstaben statt Zahlen summiert würden.

Aber wie soll das geschehen? Das Mädchen überlegt angestrengt, und kommt schließlich auf eine ziemlich raffinierte Idee. Null oder Eins zu addieren, ist ein Kinderspiel. Im einen Fall bleibt man einfach bei der Zahl, zu der die Null addiert werden soll, und im anderen Fall zählt man eben Eins weiter, vorausgesetzt, man weiß wie man zu zählen hat. Jede der restlichen Zahlen läßt sich addieren, indem man stattdessen erst einmal die nächstkleinere Zahl addiert und danach um Eins weiterzählt. Und um die nächstkleinere Zahl zu addieren, kann man ja abermals deren nächstkleinere Zahl addieren und anschließend weiterzählen. So gelangt man irgendwann zur Zahl Null, die sich auf die erdenklich einfachste Weise addieren läßt, indem man so gut wie gar nichts tut. Danach muß nur noch schrittweise weitergezählt werden. Die Summe einer beliebigen Zahl mit dem Nachfolger einer beliebigen Zahl ist also dasselbe wie der Nachfolger der Summe beider Zahlen.

Kennt man den Nachfolger einer jeden Zahl, kann man Zahlen summieren. Warum sollte das bei Buchstaben anderes sein? Die ‘Suppensumme’, oder wie das sonst genannt werden könnte, läßt sich vielleicht so erklären: Zuerst wird irgendein Buchstabe bestimmt, der bei keiner Summenbildung etwas hinzutut, vielleicht ‘Z’. Ähnlich wie die Null bei den Zahlen soll ‘Z’ also nichts zur Suppensumme beitragen. Die Suppensumme eines beliebigen Buchstabens mit ‘Z’ ist und bleibt derselbe Buchstabe. Und nun weiter: Die Suppensumme eines beliebigen Buchstabens mit dem Nachfolger eines beliebigen Buchstabens ist dasselbe wie der Nachfolger der Suppensumme der beiden Buchstaben. Das wär’s dann. Jetzt ist nur noch offen, was der Nachfolger von ‘Z’ sein könnte. Mal angenommen, nach dem letzten Buchstaben im Alphabet käme einfach wieder der erste, denkt sich die Kleine, und murmelt gedankenverloren etwas vor sich hin, das so klingt wie: „… womit alles von vorn anfängt“.

Unbeabsichtigt zieht sie durch diese Worte die Aufmerksamkeit der anderen auf sich, und das Gespräch hört nun tatsächlich einmal auf, sich endlos zu wiederholen. Warum das Mädchen seine Suppe nicht esse, wird es von der Mutter gefragt, während der Vater darüber sinniert, wie oft man gewisse Dinge wohl sagen müsse, damit es endlich von all denjenigen gehört werde, die ja doch niemals zuhören. Indem es zögernd die Überlegungen erwähnt, die es gerade zur Suppensumme angestellt hat, versucht das Mädchen sich zu verteidigen. Doch es wird ihr nicht gelingen, nach der Schilderung ihres Gedankengangs wieder von sich abzulenken. Was vermutlich daran liegt, daß das Wort ‘Suppensumme’, kaum ausgesprochen, überall geistige Kräfte freisetzt, die sich anscheinend gegenseitig verstärken und schließlich in einem wirren Wortgewitter entladen, das erst einmal abgewettert sein will, bevor sich wieder gedankliche Klarheit einstellen kann.

So geht denn ein erster Gedankenblitz auf den Suppenteller nieder, als die Mutter ihre ungeteilte Wertschätzung der einfachen Kunst des Kopfrechnens entgegenbringt, die in Vergessenheit geraten sei, seit unverständliche schriftliche, mechanische und elektronische Hilfsmittel, und jetzt sogar Nahrungsmittel eingesetzt würden, um die mentale Muskulatur zu entlasten, wodurch sie immer weiter erschlaffe. Weshalb sonst würden Kinder, wenn die Finger nicht mehr ausreichen, nun schon auf die Suppe ausweichen, um Rechnungen auszuführen, die sie selbst kaum noch begreifen können. Der Bruder, im Kopfrechnen nicht firm genug, um in dieselbe Kerbe zu schlagen, erhellt die weitverbreitete Dunkelheit blitzartig durch seine fortgeschrittenen Kenntnisse der Buchstabenrechnung, die doch etwas ganz anderes sei, als seine unbedarfte Schwester glaube, denn da würde zwar mit Buchstaben gerechnet, aber das seien eigentlich gar keine Buchstaben sondern Zahlen. Auf die neugierige Frage des Mädchens, was für Zahlen denn Buchstaben seien, erhält es zur Antwort: unbekannte eben. Als dem Mädchen eine unübersehbare Enttäuschung ins Gesicht geschrieben steht, mischt sich der Vater ein und erklärt, es sei zwischen Konstanten und Variablen zu unterscheiden, und letztere würden mit Buchstaben statt mit Ziffern bezeichnet. Statt von Variablen spräche man auch von Veränderlichen, setzt er erläuternd hinzu, da sie veränderliche Zahlen darstellen. Welche Zahlen sich denn verändern können, will das Mädchen wissen, und ob sie solche Zahlen kenne, oder ob das ganz andere Zahlen seien als die, von denen sie bislang gehört habe. Es seien dieselben Zahlen, selbstverständlich, und die blieben auch immer unverändert, heißt es daraufhin, trotzdem könne man aber mit Variablen rechnen, und die seien dann aber nicht konstant, was ‘gleichbleibend’ bedeute, sondern die seien veränderlich, aber nur solange, wie sie unbekannt sind. Sobald sie bekannt seien, seien sie auch nicht mehr veränderlich. Ob ich wohl deshalb keine veränderlichen Zahlen kenne, fragt sich die Kleine, weil sie, wenn ich sie erstmal kenne, nicht mehr veränderlich sind? Das wäre ja seltsam, und kann so nicht gemeint sein. Noch bevor sie sich danach erkundigen kann, erklärt ihr Vater, das sei alles höhere Mathematik und schwer begreiflich zu machen, solange entsprechende Voraussetzungen fehlen; eine Auffassung, die vom Bruder anscheinend geteilt wird, da er seinem Vater vehement beipflichtet.

Während das geistige Gewitter langsam vorüberzieht und die Suppe unterdessen endgültig erkaltet, rührt das Mädchen schweigend im Teller herum, bis die anderen irgendwann einlenken und sich nochmals nach der Suppenrechnung erkundigen. Das ‘Z’ erinnert die Mutter an ‘Zero’, aber die Null käme beim Zählen gleich zu Anfang und nicht erst am Ende, weshalb eher das ‘A’ für diese Rolle in Frage käme. Der Bruder hält es für falsch, auf den letzten Buchstaben im Alphabet wieder den ersten folgen zu lassen, weil es dann ja gar keinen Anfang mehr gebe. Um zu rechnen, müsse man aber mit den kleinsten Zahlen anfangen, und könne dann erst zu immer größeren übergehen; also sei erstmal 1+1 auszurechnen, was 2 ergibt, und dann erst 1+2, und so weiter. Ohne Anfang wisse man nun nicht, wo überhaupt zu beginnen sei. Das Mädchen verweist auf die Erklärung der ‘Suppensumme’, in der gar keine Rede davon ist, welches der ‘kleinste’ Buchstabe ist. Stattdessen wird dort nur von Nachfolgern von Buchstaben gesprochen. Der Bruder hält eben dies für einen Fehler. Der Vater wischt all das vom Tisch, indem er die gegebene Erklärung kurzerhand als zirkulär bezeichnet. Sie drehe sich im Kreis, denn der Ausdruck ‘Suppensumme’ werde während der Erklärung mehrfach verwendet, womit jemand, der nicht schon wisse, was diese seltsame ‘Suppensumme’ sei, nichts anfangen könne. Um die Erklärung zu verstehen, so schließt er, müsse immer schon bekannt sein, was in der Erklärung erst erklärt werden soll. Also sei alles ziemlicher Unfug, und als solcher allenfalls ganz witzig. Nur ließe sich damit nichts berechnen.

Das kleine Mädchen unterläßt es, zu widersprechen, und starrt, von den vielfältigen Einwänden scheinbar überwältigt, wieder auf seinen Teller, auf dem sich inzwischen ein komplettes ABC zu einem Kreis geschlossen hat. Während sich das Gespräch der anderen längst um etwas anderes dreht, sucht das Mädchen seine beiden Initialen ‘K’ und ‘R’ aus den restlichen Nudeln mit dem Löffel heraus, und macht sich im Stillen daran, deren Suppensumme zu bilden. Wie langwierig diese Berechnung auch ist, langweiliger als manches andere ist sie auch nicht. Den Buchstaben, der dabei herauskommen wird, werden die anderen natürlich kennen, doch ohne zu ahnen, daß er das Ergebnis einer angeblich unmöglichen Rechnung ist.

(Copyright by Peter Gold)

Der projizierte Sehstrahl

Anfängliche Theorien des Sehens, wie sie sich in der griechischen Antike ausbildeten, sind am Tasten oder Abtasten ausgerichtet gewesen.[1] Mit einem vom Auge ausgehenden Sehstrahl wird einfallendes Licht, das Dinge (wegen des inhärenten chromas) aussenden, in der geradlinigen Verlängerung des Auges – also noch vor dem Auge selbst – abgetastet. Jener projizierte Sehstrahl ist es, der das Licht erfaßt, indem er es anfaßt.

The arrow from the eye

“The oldest theory that has come down to us, from about 450 B.C.E., was proposed by Empedocles. The language of the fragments is obscure, but the idea seems to be that an object gives off rays that carry information about its surface. To read this information, the eye projects forward a narrow visual ray that somehow feels the object’s radiation and returns through the pupil into the sensitive part of the eye, where it creates an image in the mind. The visual ray is like a long finger projecting from the eye, and sight is a kind of touch.”[2]

“Occasionally the visual ray itself can be seen. People who sit by campfires are used to seeing an animal’s eye gleam as it looks in from the darkness, and Homer uses this in a wonderful simile (Iliad 13.474) when he compares the hero Idomeneus awaiting an attack from Aeneas to a wild boar facing its pursuers with back bristles up and both eyes shining with fire. Of course we can read this as a literary trope, but that might be a mistake.”[3]

[1] „From earliest times everyone seems to have agreed that the most reliable of our senses is touch but the most useful is sight.” [David Park, The Fire within the Eye. A Historical Essay on the Nature and Meaning of Light, Princeton 1997, p.34
[2] ib. p.35
[3] ib. p.35

(Copyright by Peter Gold)

Kaustik(en)

Bei der Spiegelung (Reflexion) und Brechung (Refraktion) von gerichtetem Licht treten Kaustiken auf, indem sich die Lichtstrahlen oder Lichtwellen stellenweise so überlagern, daß Brennpunkte oder Brennlinien entstehen (enkauston = [gr.] eingebrannt), deren besondere Helligkeit sie von anderen Stellen deutlich abhebt. Solche optischen Phänomene sind unübersehbar und haben seit jeher die Aufmerksamkeit erregt, zumal sich mathematisch interessante Kurven (als Enveloppen) ausbilden, deren Form zu analysieren im Zuge der Weiterentwicklung der Infinitesimalmathematik als anspruchsvolle Aufgabe galt. Es ist zwischen Diakaustiken und Katakaustiken zu unterscheiden, je nachdem, ob die Figuren daher rühren, daß das Licht gebrochen oder gespiegelt wird (dia = [gr.] durch, kata = u.a. [gr.] gegenüber). Was in der folgenden Fotografie zu sehen ist, ist als Katakaustik zu klassifizieren, denn es handelt sich um die Reflexion(en) an der inneren Wandung einer geöffneten Blechdose mit Cappuccino-Pulver (instant).

Woher der farbliche Unterschied zwischen der bläulicheren und der gelblicheren Figur stammt, ist nicht offensichtlich. Tatsächlich manifestiert sich im aufgenommenen Bild neben der optischen Überschneidung von Lichtstrahlen, die geometrisch bedingt ist, auch die spektrale Überlagerung von Lichtwellen, die sich chromatisch auswirkt. Form und Farbe sind entkoppelt. Was den sichtbaren Farbunterschied ausmacht, ist die Farbtemperatur des kontinuierlichen Spektrums. Die Lichtquelle ist nämlich im einen Fall eine elektrische Glühbirne an der Decke, im anderen Falle ein geöffnetes Fenster, das einen Ausschnitt des wolkenlosen Himmels freigibt. Die Fotografie gehört, nebenbei bemerkt, zu einer (noch unabgeschlossenen) Serie unter dem Titel ‘Physik im Fokus’. Es geht, unter anderem, um physikalische Phänomene, die sich nicht auf den ersten Blick in ihrem ‘Aussehen’ zu erkennen geben.

Im Bild zeigt sich, worauf fokussiert wird. Ohne Beleuchtung wird kein Bild gemacht, aber sie erscheint nicht selbst im Bild. Was im Bild erscheint, wird zum Bildgegenstand. Läßt sich das Licht der Beleuchtung ins Bild bringen, in dessen Fokus, ohne seinen Charakter als Beleuchtung zu verlieren? Gäbe es keine Kaustik(en) im Bild, wäre das Licht, das das Bild erzeugt, paradoxerweise im Bild gar nicht sichtbar.

Das Auge, als solches einen Teil des Gehirns bildend, ‘rechnet’ normalerweise weg, was an farblichem Einfluß von der Beleuchtung ausgeht. Die Form und Farbe dient der Konkretisierung des Bildgegenstands und wird diesem ‘zugerechnet’, indem von der (Farb-) Temperatur der Lichtquelle abstrahiert wird. Es sei denn, letzteres läßt sich nicht vermeiden, weil beide Färbungen wie im gezeigten Bild nebeneinander auftreten.

(Copyright by Peter Gold)

Licht-Projekt

Ich beabsichtige, gemeinsam mit anderen im kommenden Semester ein Projekt zum Thema Licht anzubieten, das als Modul ins studium generale der Fachhochschule Frankfurt eingebunden ist. Es umfaßt:

• Licht in der exakten Wissenschaft
• Licht in der ästhetischen Gestaltung
• Licht im sozialen Kontext

Licht als Phänomen zu thematisieren, führt zu interdisziplinären Fragestellungen, in denen physikalische, sensorische, künstlerische und kulturelle Aspekte eng aufeinander bezogen sind. Das Projekt versteht sich als fortlaufende Auseinandersetzung mit einem komplexen Erfahrungsbereich, dessen theoretische wie ästhetische Dimension ’sichtbar’ gemacht werden soll. In der erkenntnisorientierten und gestalterischen Arbeit (work in progress) werden unter anderem Darstellungsmedien wie Fotografie, Zeichnung, Film, Installation, Website etc. eingesetzt, und zu den Zielen des Projekts gehört es auch, sich mit entsprechenden Techniken und Methoden näher zu befassen. Es ist daran gedacht, die Arbeitsergebnisse öffentlich zu präsentieren und mit verschiedenen Institutionen zu kooperieren, und es ist beabsichtigt, die Arbeit semesterweise fortzuführen, um das erarbeitete Material zu erweitern. Als mögliche Themenfelder bieten sich an:

• Farbe als Erscheinungsform des Lichts, Farbtemperatur und Farbempfindung
• Objektkonstitution durch Kontraste und Konturen
• Spiegelungen, Brechungen, Kaustiken, Transparenz, Opazität, Polarisation
• Fotografie und optische Abbildungen
• Licht und Schatten in der Zeichnung
• Das Licht in der Malerei (clair obscur etc.)
• Einsatz und Wirkung des Lichts in der Architektur
• Lichtphänomene in freier Natur
• Lichtquellen und spektrale Analyse
• Die sichtbare Oberfläche
• Komplementarität von Wellen- und Teilchenmodell des Lichts
• Bedeutung der Lichtgeschwindigkeit im Raum-Zeit-Kontinuum
• Philosophie des Lichts zwischen griechischer Antike und Moderne
• Licht als Informationsträger für virtuelle Realität
• Licht im sozialen Umfeld