Proseminar zur Formalen Logik

Mein Proseminar zur Formalen Logik findet in der Woche vom 21.02.11 – 25.02.11 täglich von 09:00 – 18:00 Uhr in Raum IG 0.457 am Campus Westend der Universität Frankfurt statt. Es ist keine Voranmeldung erforderlich. Die Klausur wird voraussichtlich am 28.02.11 um 17:00 Uhr geschrieben. Empfohlene Literatur: Richard C. Jeffrey (& George Boolos),  Formal Logic. Its Scope and Limits, 3rd Edition, New York, Cambridge 1990/2004, oder 4th Edition (by John P. Burgess) 2006.

Proseminar: »Logik«

Mein Proseminar zur »Logik« im Sommersemester 2010 findet als Blockveranstaltung vom 15.03.10 – 19.03.10 von 09:00 – 18:00 Uhr in Raum IG 0.454 am Campus Westend der Universität Frankfurt statt.

Wittgensteins N-Operator im »Tractatus«

In Wittgensteins »Tractatus logico-philosophicus« wird ein logischer Operator eingeführt, um die allgemeine Satzstruktur (in formallogischer Hinsicht) zu klären: der N-Operator. Es handelt sich um einen Operator, dessen Operanden (Aussage-) Sätze sind, Propositionen genannt, die einen von zwei Wahrheitswerten annehmen. Der Operator stellt eine Wahrheitsfunktion dar, das heißt eine Funktion (im mathematischen Sinne), welche in Abhängigkeit von den jeweiligen Wahrheitswerten ihrer Argumente ebenfalls Wahrheitswerte als Funktionswerte liefert. Aber anders als übliche Funktionen mit fester Stellenzahl ist der N-Operator für eine beliebige Stellenzahl erklärt. Er wirkt nämlich als monadischer, als dyadischer, als triadischer etc. Operator, je nachdem welche Anzahl von Operanden auftritt, fungiert also für n Operanden als n-adischer oder n-stelliger Operator. Aus technischer Sicht der digitalen Schaltalgebra liegt der Typus des NOR-Gatters (NOR gate) mit variabler Anzahl von Anschlüssen für den Input vor, wobei mit NOR gemeint ist, daß die (kombinierte) Operation »not-or« ausgeführt wird. Der Output eines ähnlichen Schaltkreises, des NAND-Gatters (NAND gate), wird erzeugt, indem der anstehende Input gemäß der Operation »not-and« umgewandelt und anschließend ausgegeben wird, wobei beide Gatter die Negation »not« erst nach der logischen Verknüpfung der Eingangssignale gemäß der Disjunktion »or« beziehungsweise der Konjunktion »and« vornehmen. Wollte man digitale logische Schaltungen auf einen einzigen Typus von vorgefertigen Schaltkreisen reduzieren, wäre jeder der beiden logischen Bausteine geeignet, sämtliche anderen Typen zu ersetzen. In der formalen Logik läßt sich für den Fall von zwei Operanden die Wirkung des NOR-Gatters durch den Peirce-Pfeil symbolisieren, während dem NAND-Gatter das Symbol des Sheffer-Strichs entspricht. Beide werden definiert als:

Die genannten Operatoren sind dual zueinander. Sie waren Peirce (um 1880) beide bekannt, und er wußte auch was von Sheffer (1913) bewiesen wurde, daß nämlich die logischen Operationen in der Boolschen Algebra auf einen von beiden zurückführbar sind. Im »Tractatus« (1921) knüpft Wittgenstein an Sheffer an, Peirce hatte seine eigenen Ergebnisse nicht veröffentlicht, doch benannt ist der betreffende Operator inzwischen nach Peirce, nicht nach Sheffer.

In Form des N-Operators wird der Peirce-Pfeil verallgemeinert, indem keine bestimmte Anzahl von Operanden in dessen Definition angegeben wird: Es werde als Resultat der Operation der Wahrheitswert »falsch« geliefert, wenn und nur wenn mindestens einer der Operanden den Wert »wahr« annimmt, andernfalls sei das Resultat »wahr«. Dies charakterisiert den N-Operator in seiner Wirkung, ohne seine Anwendung an irgendeine feste Stellenzahl zu koppeln. Insofern egeben sich folgende logische Äquivalenzen:

Anhand des N-Operators lassen sich sämtliche logischen Junktoren einführen oder nachbilden, ob einstellig oder mehrstellig, wie Negator, Konjunktor, Disjunktor oder Adjunktor, Konditional, Bikonditional oder Äquivalenz etc. Unter einer Junktorenbasis ist eine Auswahl von Junktoren zu verstehen, mittels derer sämtliche anderen Junktoren definierbar sind. Solche Mengen von Junktoren werden als funktional vollständig bezeichnet. Beispielsweise bilden die beiden Junktoren der Negation und des Konditionals (materiale Implikation) eine Junktorenbasis, ebenso die Negation gemeinsam mit der Konjunktion oder der Disjunktion. Eine Junktorenbasis bildet auch der Peirce-Pfeil allein, ebenso der Sheffer-Strich allein. Wie sich der N-Operator dazu eignet, andere Junktoren zu definieren oder zu emulieren, zeigt sich an folgenden Entsprechungen:

Auf ähnliche Weise sind sämtliche weiteren n-adischen Operatoren der Junktorenlogik definierbar. Dasselbe ist mittels des Peirce-Pfeils oder des dazu dualen Sheffer-Strichs erreichbar, allerdings weisen beide eine feste Stellenzahl auf, was bei Wittgensteins N-Operator eben vermieden wird. Weniger elegant, doch nicht weniger allgemein wäre es, statt Wittgensteins N-Operator einen jener beiden zueinander dualen Operatoren zu wählen. Übrigens gehört zu Wittgensteins N-Operator ebenfalls ein dualer, der als solcher den Sheffer-Strich anstelle des Peirce-Pfeils verallgemeinert. In der Schaltalgebra entspricht, wie gesagt, dem Peirce-Pfeil ein NOR-Gatter und dem Sheffer-Strich ein NAND-Gatter, jeweils mit zwei Eingängen. Werden die beiden Eingänge leitend miteinander verbunden, das heißt kurzgeschlossen, so wirkt sowohl das NOR als auch das NAND-Gatter wie ein Inverter, welcher die Negation des digitalen Eingangssignals liefert, denn es gelten die Äquivalenzen:

In den angegebenen Formeln zeichnet sich ab, inwiefern im Rekurs auf den N-Operator von Wttgenstein die beabsichtigte strukturelle Vereinheitlichung verschachtelter Junktoren erzielbar ist, um die formale Diversität logischer Operatoren auf einen einzigen Operationstyp zu reduzieren. Wenn die Bedeutung eines Satzes nicht von oberflächlichen Umformungen beinflußt wird, sondern allein von dessen Wahrheitsbedingungen abhängt, wobei letztere in logischen Operatoren codiert sind, dient es der formalen Einheitlichkeit und Durchsichtigkeit, wenn auch nicht der Bequemlichkeit, eine einzige logische Operation als fundamental auszuzeichnen und andere Operationen dadurch auszudrücken. Ohne eine gewisse Konvergenz der komplexen Formen gleichbedeutender Propositionen ergäbe sich kein Anhaltspunkt, an dem so etwas wie eine allgemeine Satzform festzumachen wäre.

(Copyright by Peter Gold)

Kausalität laut Aristoteles’ Physik

Bedenkt man, daß aitia neben ‘Ursache’, ‘Grund’ oder ‘Anlaß’ auch ‘Schuld’ bedeutet (aitios = schuldig, schuld, verantwortlich; der Schuldige, Urheber, Täter), so zielt die Frage nach Kausalität darauf ab, zu erfahren, was an etwas ‘schuld’ ist.

Um die von Aristoteles unterschiedenen ‘Ursachen’, nach denen gefragt werden kann, zu typisieren, ohne sie zu verdinglichen, ist es am besten, die Frage so neutral wie möglich zu formulieren:

Was (alles) ist schuld daran, daß etwas (ein Ding) das ist, was es ist, und daß es so ist, wie es ist?

Wird nach diesem Schema gefragt, wobei das Wort ‘Ursache’ nicht unabsichtlich vermieden wird, werden die Antworten unter vier verschiedenen Aspekten erfolgen, je nachdem, worauf Bezug genommen wird:

1. causa materialis: das Material, aus dem etwas besteht (woraus ist das Ding gemacht?)
2. causa formalis: die Form, die etwas aufweist (wie ist das Ding geformt?)
3. causa efficiens: die Weise, wie etwas entstanden ist (wie ist das Ding zu diesem Ding geworden?)
4. causa finalis: der Zweck, den etwas erfüllt (wozu ist das Ding gedacht?)

Statt nach einem ‘Ding’ oder einem ‘Gegenstand’ kann auch nach einer ‘Sache’ gefragt werden, oder neutraler nach einer Entität, nach irgendetwas. Eine ‘Ursache’ ist nun nicht ihrerseits eine ‘Sache’ oder ein ‘Ding’ im selben Sinne, sondern sie ist auch nur – irgendetwas.

(Copyright by Peter Gold)

Seminar: »Formale Logik«

Mein Seminar zur Einführung in die »Formale Logik« im Sommersemester 2009 findet vom 16.03.09 bis 20.03.09 um 09:00-18:00 Uhr am Campus Westend im Hörsaal IG 457 der Universität Frankfurt statt. Behandelt wird die Junktoren- und Quantoren-Logik. Es ist keine Voranmeldung zur Teilnahme an der Lehrveranstaltung erforderlich. Den Abschluß des Blockseminars bildet eine Klausur, die voraussichtlich nachmittags am 23.03.09 geschrieben wird.

Die Summe in der Suppe

Ein kleines Mädchen, gelangweilt von den Gesprächsfetzen bei Tisch, die es kaum noch wahrnimmt, starrt in den Suppenteller. Dem Blick bietet sich ein nettes Durcheinander von Buchstaben dar, denn was da langsam erkaltet, ist eine Buchstabensuppe. So klein ist das Mädchen nun auch wieder nicht. Seit es gelernt hat zu buchstabieren und zu schreiben, weiß es, welcher Buchstabe auf welchen folgt, ähnlich wie beim Zählen ja eine Zahl nach der anderen kommt. Aber was kommt nach dem ‘Z’, dem letzten Buchstaben im Alphabet? Als sie darüber nachgrübelt, fällt der Kleinen plötzlich ein, daß ihr älterer Bruder mal von ‘Buchstabenrechnung’ gesprochen hat, die sie gerade durchnähmen. Erklärt hat er weiter nichts. Was das wohl sein mag, ‘Buchstabenrechnung’? Ist es etwa so, daß Buchstaben genau wie Zahlen nicht nur aufeinanderfolgen, sondern auch zusammengezählt werden können. Dann gäbe es wohl so eine Art ‘Suppenrechnung’, bei der Buchstaben statt Zahlen summiert würden.

Aber wie soll das geschehen? Das Mädchen überlegt angestrengt, und kommt schließlich auf eine ziemlich raffinierte Idee. Null oder Eins zu addieren, ist ein Kinderspiel. Im einen Fall bleibt man einfach bei der Zahl, zu der die Null addiert werden soll, und im anderen Fall zählt man eben Eins weiter, vorausgesetzt, man weiß wie man zu zählen hat. Jede der restlichen Zahlen läßt sich addieren, indem man stattdessen erst einmal die nächstkleinere Zahl addiert und danach um Eins weiterzählt. Und um die nächstkleinere Zahl zu addieren, kann man ja abermals deren nächstkleinere Zahl addieren und anschließend weiterzählen. So gelangt man irgendwann zur Zahl Null, die sich auf die erdenklich einfachste Weise addieren läßt, indem man so gut wie gar nichts tut. Danach muß nur noch schrittweise weitergezählt werden. Die Summe einer beliebigen Zahl mit dem Nachfolger einer beliebigen Zahl ist also dasselbe wie der Nachfolger der Summe beider Zahlen.

Kennt man den Nachfolger einer jeden Zahl, kann man Zahlen summieren. Warum sollte das bei Buchstaben anderes sein? Die ‘Suppensumme’, oder wie das sonst genannt werden könnte, läßt sich vielleicht so erklären: Zuerst wird irgendein Buchstabe bestimmt, der bei keiner Summenbildung etwas hinzutut, vielleicht ‘Z’. Ähnlich wie die Null bei den Zahlen soll ‘Z’ also nichts zur Suppensumme beitragen. Die Suppensumme eines beliebigen Buchstabens mit ‘Z’ ist und bleibt derselbe Buchstabe. Und nun weiter: Die Suppensumme eines beliebigen Buchstabens mit dem Nachfolger eines beliebigen Buchstabens ist dasselbe wie der Nachfolger der Suppensumme der beiden Buchstaben. Das wär’s dann. Jetzt ist nur noch offen, was der Nachfolger von ‘Z’ sein könnte. Mal angenommen, nach dem letzten Buchstaben im Alphabet käme einfach wieder der erste, denkt sich die Kleine, und murmelt gedankenverloren etwas vor sich hin, das so klingt wie: „… womit alles von vorn anfängt“.

Unbeabsichtigt zieht sie durch diese Worte die Aufmerksamkeit der anderen auf sich, und das Gespräch hört nun tatsächlich einmal auf, sich endlos zu wiederholen. Warum das Mädchen seine Suppe nicht esse, wird es von der Mutter gefragt, während der Vater darüber sinniert, wie oft man gewisse Dinge wohl sagen müsse, damit es endlich von all denjenigen gehört werde, die ja doch niemals zuhören. Indem es zögernd die Überlegungen erwähnt, die es gerade zur Suppensumme angestellt hat, versucht das Mädchen sich zu verteidigen. Doch es wird ihr nicht gelingen, nach der Schilderung ihres Gedankengangs wieder von sich abzulenken. Was vermutlich daran liegt, daß das Wort ‘Suppensumme’, kaum ausgesprochen, überall geistige Kräfte freisetzt, die sich anscheinend gegenseitig verstärken und schließlich in einem wirren Wortgewitter entladen, das erst einmal abgewettert sein will, bevor sich wieder gedankliche Klarheit einstellen kann.

So geht denn ein erster Gedankenblitz auf den Suppenteller nieder, als die Mutter ihre ungeteilte Wertschätzung der einfachen Kunst des Kopfrechnens entgegenbringt, die in Vergessenheit geraten sei, seit unverständliche schriftliche, mechanische und elektronische Hilfsmittel, und jetzt sogar Nahrungsmittel eingesetzt würden, um die mentale Muskulatur zu entlasten, wodurch sie immer weiter erschlaffe. Weshalb sonst würden Kinder, wenn die Finger nicht mehr ausreichen, nun schon auf die Suppe ausweichen, um Rechnungen auszuführen, die sie selbst kaum noch begreifen können. Der Bruder, im Kopfrechnen nicht firm genug, um in dieselbe Kerbe zu schlagen, erhellt die weitverbreitete Dunkelheit blitzartig durch seine fortgeschrittenen Kenntnisse der Buchstabenrechnung, die doch etwas ganz anderes sei, als seine unbedarfte Schwester glaube, denn da würde zwar mit Buchstaben gerechnet, aber das seien eigentlich gar keine Buchstaben sondern Zahlen. Auf die neugierige Frage des Mädchens, was für Zahlen denn Buchstaben seien, erhält es zur Antwort: unbekannte eben. Als dem Mädchen eine unübersehbare Enttäuschung ins Gesicht geschrieben steht, mischt sich der Vater ein und erklärt, es sei zwischen Konstanten und Variablen zu unterscheiden, und letztere würden mit Buchstaben statt mit Ziffern bezeichnet. Statt von Variablen spräche man auch von Veränderlichen, setzt er erläuternd hinzu, da sie veränderliche Zahlen darstellen. Welche Zahlen sich denn verändern können, will das Mädchen wissen, und ob sie solche Zahlen kenne, oder ob das ganz andere Zahlen seien als die, von denen sie bislang gehört habe. Es seien dieselben Zahlen, selbstverständlich, und die blieben auch immer unverändert, heißt es daraufhin, trotzdem könne man aber mit Variablen rechnen, und die seien dann aber nicht konstant, was ‘gleichbleibend’ bedeute, sondern die seien veränderlich, aber nur solange, wie sie unbekannt sind. Sobald sie bekannt seien, seien sie auch nicht mehr veränderlich. Ob ich wohl deshalb keine veränderlichen Zahlen kenne, fragt sich die Kleine, weil sie, wenn ich sie erstmal kenne, nicht mehr veränderlich sind? Das wäre ja seltsam, und kann so nicht gemeint sein. Noch bevor sie sich danach erkundigen kann, erklärt ihr Vater, das sei alles höhere Mathematik und schwer begreiflich zu machen, solange entsprechende Voraussetzungen fehlen; eine Auffassung, die vom Bruder anscheinend geteilt wird, da er seinem Vater vehement beipflichtet.

Während das geistige Gewitter langsam vorüberzieht und die Suppe unterdessen endgültig erkaltet, rührt das Mädchen schweigend im Teller herum, bis die anderen irgendwann einlenken und sich nochmals nach der Suppenrechnung erkundigen. Das ‘Z’ erinnert die Mutter an ‘Zero’, aber die Null käme beim Zählen gleich zu Anfang und nicht erst am Ende, weshalb eher das ‘A’ für diese Rolle in Frage käme. Der Bruder hält es für falsch, auf den letzten Buchstaben im Alphabet wieder den ersten folgen zu lassen, weil es dann ja gar keinen Anfang mehr gebe. Um zu rechnen, müsse man aber mit den kleinsten Zahlen anfangen, und könne dann erst zu immer größeren übergehen; also sei erstmal 1+1 auszurechnen, was 2 ergibt, und dann erst 1+2, und so weiter. Ohne Anfang wisse man nun nicht, wo überhaupt zu beginnen sei. Das Mädchen verweist auf die Erklärung der ‘Suppensumme’, in der gar keine Rede davon ist, welches der ‘kleinste’ Buchstabe ist. Stattdessen wird dort nur von Nachfolgern von Buchstaben gesprochen. Der Bruder hält eben dies für einen Fehler. Der Vater wischt all das vom Tisch, indem er die gegebene Erklärung kurzerhand als zirkulär bezeichnet. Sie drehe sich im Kreis, denn der Ausdruck ‘Suppensumme’ werde während der Erklärung mehrfach verwendet, womit jemand, der nicht schon wisse, was diese seltsame ‘Suppensumme’ sei, nichts anfangen könne. Um die Erklärung zu verstehen, so schließt er, müsse immer schon bekannt sein, was in der Erklärung erst erklärt werden soll. Also sei alles ziemlicher Unfug, und als solcher allenfalls ganz witzig. Nur ließe sich damit nichts berechnen.

Das kleine Mädchen unterläßt es, zu widersprechen, und starrt, von den vielfältigen Einwänden scheinbar überwältigt, wieder auf seinen Teller, auf dem sich inzwischen ein komplettes ABC zu einem Kreis geschlossen hat. Während sich das Gespräch der anderen längst um etwas anderes dreht, sucht das Mädchen seine beiden Initialen ‘K’ und ‘R’ aus den restlichen Nudeln mit dem Löffel heraus, und macht sich im Stillen daran, deren Suppensumme zu bilden. Wie langwierig diese Berechnung auch ist, langweiliger als manches andere ist sie auch nicht. Den Buchstaben, der dabei herauskommen wird, werden die anderen natürlich kennen, doch ohne zu ahnen, daß er das Ergebnis einer angeblich unmöglichen Rechnung ist.

(Copyright by Peter Gold)

Beziehungen anstelle von Gegenständen

Ein Zitat von Henri Poincaré aus Science and Hypothesis, gemeint als nachträgliche Ergänzung zu meiner Vorlesung über Begriffe und Beziehungen, zeigt, wie der brillante Mathematiker, dessen Anteil an der Konzeption der Relativitätstheorie unbestritten ist, Relationen ins Blickfeld von Physik und Mathematik rückt. Beabsichtigt ist, Gegenständliches gegen dessen Beziehungen auszuspielen, so daß Dinge als solche gegenüber ihrer Konstellation und ihren Relationen entwertet werden oder zumindest in den Hintergrund treten, um nicht zu sagen, aus dem Blickfeld der exakten Wissenschaft zu verschwinden haben: »[…] the aim of science is not things themselves, as the dogmatists in their simplicity imagine, but the relations between things; outside those relations there is no reality knowable. Such is the conclusion to which we are led; but to reach that conclusion we must pass in review the series of sciences from arithmetic and geometry to mechanics and experimental physics.«[1] Erkennbarkeit im wissenschaftlichen Sinne ist Poincaré zufolge nicht an die Dinge selbst, sondern an deren Beziehungen gebunden.

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[1] Poincaré, Science and Hypothesis, p.xxiv

(Copyright by Peter Gold)

Logische Deduktion vs. Induktion

Es heißt, jemand wie Morris R. Cohen habe es einmal recht drastisch ausgedrückt: nämlich daß Lehrbücher der Logik aus zwei Teilen bestünden, einem ersten Teil über Deduktion, in dem Trugschlüsse erklärt werden, und einem zweiten Teil über Induktion, in dem sie begangen werden.