Das physikalische Raum-Zeit-Kontinuum

Seit Einsteins Relativitätstheorie(n), konzeptuell vorbereitet und weiterentwickelt von Riemann, Lorentz, Poincaré, Minkowski, Cartan, Wheeler und anderen, bis hin zu Penrose und Hawking, ist der Raum nicht mehr von der Zeit trennbar wie in der klassischen Mechanik Newtons. Was mit ‚Raum’ im physikalischen Sinne gemeint ist, unterscheidet sich vom anschaulichen Euklidischen Raum der Geometrie durch die Zeitkoordinate als weitere Dimension, die mit den drei anderen Koordinaten ganz anders verknüpft ist, als es eine auf n Dimensionen verallgemeinerbare Euklidische Metrik nahezulegen scheint. Die (geo-) metrischen Verhältnisse des vierdimensionalen Raums der Physik sind nicht-euklidisch. Die Metrik gibt wieder, ob und wie der Raum gekrümmt ist, zudem spiegelt sich in ihr, daß die zeitliche Dimension nicht mit den anderen, räumlichen zu verwechseln ist, selbst wenn keine Krümmung auftritt. Der physikalische Raum stellt eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit dar,[1] besser ‚Raum-Zeit-Kontinuum’ genannt, um anhand der topologischen und metrischen Struktur die Koordination von Ereignissen zu erfassen und die Interaktion von Materie wiederzugeben. Ohne die Zeit als weitere Dimension in die Geometrie des Raums einzubeziehen, würden formulierte Gesetzmäßigkeiten nicht unabhängig vom gewählten Bezugssystem gelten, sondern beim Wechsel zwischen Koordinatensystemen ihre Form ändern,[2] weshalb sich Raum und Zeit nicht entkoppeln lassen. Außerdem ist der geometrische Raum nicht ohne weiteres von der physikalischen Dynamik entkoppelbar. Dessen Krümmung wirkt sich nämlich auf die Bewegung von Materie aus, während deren Umverteilung wiederum die Krümmung des Raums beeinflußt.

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Geometrie greift in die Mechanik ein, bleibt nicht unbeteiligt im Hintergrund des Geschehens, sondern ist selbst ins Geschehen verwickelt und geht nicht unangetastet daraus hervor.[3] Raum wird zur aktiven Vermittlung von Einflüssen gebraucht, nicht nur als passives Behältnis von Ereignissen. Wäre es so, daß sich geometrische Strukturen gegenüber physikalischen Phänomenen neutral verhielten und umgekehrt, gäbe es keine wechselseitige Abhängigkeit zwischen beiden, doch die Relativitätstheorie ist ganz darauf abgestellt, daß die gegenteilige Annahme zutrifft. Insofern gehört die Geometrie des Raums zur Thematik der Physik.

Was Raum eigentlich ist, und in welcher Beziehung dessen Geometrie zur Mechanik steht, war alles andere als unumstritten, nachdem Leibniz, Huygens oder Berkeley, um nur einige zu nennen, sich gegen die von Newton vertretene Auffassung wandten, daß es so etwas wie einen absoluten Raum und eine absolute Zeit neben den relativen räumlichen Abständen und zeitlichen Abschnitten gebe, deren numerische Werte sich bei Messungen ergeben. In Newtons epochalem Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) heißt es:

“Absolute space, of its own nature without reference to anything external, always remains homogeneous and immovable. Relative space is any movable measure or dimension of this absolute space; such a measure or dimension is determined by our senses from the situation of the space with respect to bodies and is popularly used for immovable space, […]. Absolute space and relative space are the same in species and in magnitude, but they do not always remain the same numerically.”[4]

Der Präsupposition des absoluten Raums korrespondiert die Charakterisierung von absoluter Zeit:

“Absolute, true, and mathematical time, in and of itself and of its own nature, without reference to anything external, flows uniformly and by another name is called duration. Relative, apparent, and common time is any sensible and external measure (precise or imprecise) of duration by means of motion; […]”[5]

Um antizipierte Einwände gegen die Annahme des absoluten Raums zu widerlegen, führt Newton ein in Gedanken nachvollziehbares Experiment an, bei dem ein mit Wasser gefüllter Eimer, welcher an einem Seil aufgehängt ist, in Drehung versetzt wird, so daß sich die ebene Wasseroberfläche wölbt. Träte die Wölbung wegen der Relativbewegung zwischen Wasser und Eimer ein, nicht wegen der Drehbewegung im absoluten Raum, würde sich die gewölbte Oberfläche wieder ebnen, wenn sich das Gefäß und dessen flüssiger Inhalt gemeinsam mit derselben Geschwindigkeit um dieselbe Achse drehen. Erfahrungsgemäß ist das nicht der Fall, weshalb die auftretende Wölbung keine relative Bewegung zwischen Eimer und Wasser anzeigt, sondern Newton zufolge auf eine absolute Bewegung im Raum verweist. Anders als die Translation führt die Rotation im absoluten Raum zu physikalischen Auswirkungen, anhand derer sie nachweisbar wird. Insofern sei die Existenz des absoluten Raums kaum zu leugnen, ohne sich gegen die Physik insgesamt zu wenden, wie es schien. Entgegen Newtons Ansicht beabsichtigte Leibniz, die Physik im Relativen statt im Absoluten zu fundieren, scheiterte jedoch an jener Problematik, welche Newton anhand der Rotation gedanklich aufwarf. Auch Huygens war involviert.[6] Mach wird später ebenfalls darauf aus sein, außer der Translation auch die Rotation zu relativieren, wozu er das Gedankenexperiment mit dem wassergefüllten Eimer abwandelt und dessen Umgebung einbezieht. Man stelle sich vor, um den unbewegten Eimer samt Inhalt drehe sich die gesamte ‚restliche’ Materie im Universum, wobei das Seil, an dem der Eimer hängt, nach wie vor die Drehachse bildet. Mach identifiziert beide geschilderten Situationen, egal ob der Wassereimer rotiert oder stattdessen der gesamte ‚Fixsternhimmel’, wie er sich ausdrückt, weshalb es keinerlei empirisch feststellbare oder experimentell meßbare Unterschiede gäbe und die Unterscheidung illusorisch sei.[7] Was spräche dagegen, daß sich wiederum die gleiche Wölbung der Wasseroberfläche einstellen würde?

„Der Versuch Newtons mit dem rotierenden Wassergefäß lehrt nur, daß die Relativdrehung des Wassers gegen die Gefäßwände keine merklichen Zentrifugal­kräfte weckt, daß dieselben aber durch die Relativdrehung gegen die Masse der Erde und die übrigen Himmelskörper geweckt werden. Niemand kann sagen, wie der Versuch quantitativ und qualitativ verlaufen würde, wenn die Gefäßwände immer dicker und massiger, zuletzt mehrere Meilen dick würden. Es liegt nur der eine Versuch vor, und wir haben denselben mit den übrigen uns bekannten Tatsachen, nicht aber mit unsern willkürlichen Dichtungen in Einklang zu bringen.“[8]

Von absoluter Bewegung abzusehen und Bewegung als relativ zu verstehen, statt Newtons „metaphysischen Hang fürs Absolute“[9] zu teilen, entspräche wissenschaftlichem Experimentieren und Messen weit besser[10] als die „Begriffsungetüme des absoluten Raumes und der absoluten Zeit“[11]; ein Gedankengang, den sich Einstein zu eigen machte[12] und als ‚Machsches Prinzip’ in der Relativitätstheorie zur Geltung bringen wollte,[13] was sich letztlich nicht umsetzen ließ.[14] Übrig geblieben sind lediglich gewisse ‚Machsche Effekte’ in der Relativitätstheorie, wie man inzwischen abschwächend sagt,[15] etwa der von Lense und Thirring aufgewiesene und nach ihnen benannte Effekt, der zu den gravitomagnetischen Phänomenen zählt. Es macht sich nämlich bemerkbar, ob die Gravitationswirkung von bewegter, beispielsweise rotierender Materie ausgeht, oder ob sie von unbewegter Materie ausgeübt wird, ähnlich wie bewegte elektrische Ladungen ein Magnetfeld erzeugen, das von unbewegten Ladungen nicht aufgebaut wird.[16] Insofern erinnert dies an das rotierende Universum bei Mach, das sich anders auswirkt als ein nicht-rotierendes.

“It has long been customary to refer to gravimagnetic phenomena […] in terms of ‘frame dragging’ or ‘space dragging’. This dates back to Einstein (‘Mitführung’) and his early fascination with Mach’s principle, according to which the ‘rotating’ universe ‘drags’ the inertial frame relative to the non-rotating earth. But that metaphor can be very misleading. […] Our recommendation is to use the vague concept of dragging at most in a tentative way, and for definite results to rely instead of the solidly established Maxwellian analogy.”[17]

Um metaphysische Spekulationen aus der exakten Wissenschaft auszumerzen, wie es nicht nur Machs erklärtes Anliegen war, sondern methodologische Resonanz im Rahmen der Physik und der Philosophie fand,[18] stellte sich unter anderem die Frage, welche Entitäten oder Konstrukte fälschlicherweise als absolut angesehen wurden, während ihre operationale Funktion in experimentellen Meßprozessen eher darauf schließen ließ, daß es sich um rein relativ zu verstehende Konzepte handelte.

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Ob sich die zeitliche Dimension von den drei räumlichen Dimensionen abspalten läßt, wie es die klassische Physik fälschlicherweise unterstellte, oder ob räumliche Koordinaten mit zeitlichen Koordinaten zu verrechnen sind, wenn ein Wechsel des Bezugssystems erfolgt, wie es die relativistische Physik entdeckte, ist für die Raumkonzeption essentiell, und die tradierte Auffassung erwies sich als inadäquat. Relativ zueinander bewegte Koordinatensysteme liefern nicht die gleiche chronologische Korrelation von Ereignissen; bei bestimmten Ereignissen kehrt sich deren zeitliche Reihenfolge um, die Gleichzeitigkeit von Ereignissen bleibt nicht gewahrt, es sei denn, sie finden am selben Ort statt, und trotz allem wird der Kausalkonnex zwischen Ereignissen nicht angetastet, wenn das System gewechselt wird.

Für die Anwendbarkeit der Newtonschen Mechanik war theoretisch wie meßtechnisch ausschlaggebend, daß es Inertialsysteme gab, sonst würde das Galileische Trägheitsgesetz nirgends gelten, das als erstes Newtonsches Axiom fungiert und die kräftefreie Trägheitsbewegung mit gleichförmiger Geschwindigkeit als diejenige Bewegung eines jeden Körpers ausweist, welche er von allein beibehält, wenn keinerlei Einfluß darauf ausgeübt wird oder sich sämtliche äußeren Einwirkungen gegenseitig aufheben. Aber unter den Inertialsystemen, in denen neben dem ersten auch das zweite und dritte Newtonsche Axiom ohne weiteres anwendbar waren, um ohne Scheinkräfte auszukommen, die als illusionäre Trägheitskräfte neben den eingeprägten Kräften wirken, brauchte keines der Inertialsysteme als absolut ruhend ausgezeichnet zu werden. Für die Messung von Dauer, Distanz, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Masse, Impuls, Kraft, Arbeit, Energie, Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls, Drehmoment etc. war es ausreichend, wenn irgendein Inertialsystem vorlag, ohne zu wissen, ob es sich in absoluter Ruhe befindet oder nicht. Weder absolute Ortsangaben noch absolute Zeitpunkte würden in die Messungen eingehen, weil es nur auf Ortsdifferenzen und Zeitintervalle ankam, so daß die Newtonsche Mechanik auch ohne Referenzsystem auskam, welches im absoluten Raum verankert wäre und auch eine absolute Zeitbestimmung gestatten würde. Zwischen Inertialsystemen, die sich als solche relativ zueinander mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegen, läßt sich hinsichtlich physikalischer Gesetzmäßigkeiten nicht unterscheiden, denn es treten keine beobachtbaren Phänomene oder meßbare Effekte auf, die darauf schließen ließen, welches sich davon in Ruhe befindet und welches nicht, so daß es physikalisch irrelevant ist, zwischen absoluter Ruhe und gleichförmiger Bewegung zu unterscheiden. Weshalb es nahelag, jede Bezugnahme auf Absolutes in der Physik zu tilgen, dessen Beobachtbarkeit prinzipiell nicht vorgesehen oder dessen Meßbarkeit experimentell nicht nötig war. Ob man sich auf ‚Denkökonomie’ à la Mach berief oder ‚Ockhams Rasiermesser’ ansetzte, es wurde in der Physik eine Theorie angestrebt, die operational auf Experimente ausgelegt ist, nicht aber auf spekulative Metaphysik angewiesen ist.

Relationen statt Substanzen, Messungen statt Setzungen, Operationen statt Hypostasierungen waren gefragt, um den empirischen Gehalt der Physik ins theoretische Gerüst einzubinden, ohne mehr oder anderes zu sagen als sich methodisch überprüfen ließ. Die Reflexion auf Bedingungen der Möglichkeit von wissenschaftlicher Erkenntnis, um es mit Kant auszudrücken, begleitet die Physik in ihrer Abwendung von der klassischen Fassung, die sie als Newtonsche Mechanik oder als Maxwellsche Elektrodynamik angenommen hatte. Relativität wird methodologisch zum Thema par excellence. Ungefähr zur selben Zeit als Poincaré den Relativismus propagierte, konzipierte Einstein die Relativitätstheorie, welche Poincaré teilweise vorwegnahm. Das Credo lautete:

“[…] the aim of science is not things themselves, as the dogmatists in their simplicity imagine, but the relations between things; outside those relations there is no reality knowable.

Such is the conclusion to which we are led; but to reach that conclusion we must pass in review the series of sciences from arithmetic and geometry to mechanics and experimental physics.”[19]

Im Zitat aus Poincarés programmatischer Schrift über Wissenschaft und Hypothese (1902) wird Gegenständliches gegen dessen Beziehungen ausgespielt, so daß Dinge als solche gegenüber ihrer Konstellation und ihren Relationen entwertet werden oder zumindest in den Hintergrund treten. Was nicht relational interpretierbar oder relativ zu anderem explizierbar ist, wird abgetan. Was absolut klingt, wird als unwissenschaftlich verdächtigt. Wissenschaftlich erkennbare Realität wird an Relationalität geknüpft. Meßbarkeit wird zum Maßstab, ansonsten sind Ideen nutzlos.[20] Inwieweit sich der eingenommene Standpunkt selbst ‚relativiert’, indem er ‚absolute’ Geltung beansprucht, bleibe einmal dahingestellt. Strikter Relativismus und strikter Operationalismus wurden in der nachfolgenden Entwicklung der Physik ohnehin übergangen. Doch zurück zur Mechanik.

Gegen die tradierte Auffassung von Raum und Zeit führt Poincaré, fast als antworte er nachträglich auf Newtons Statements, folgende Punkte an:

“1. There is no absolute space, and we only conceive of relative motion; and yet in most cases mechanical facts are enunciated as if there is an absolute space to which they can be referred.

2. There is no absolute time. When we say that two periods are equal, the statement has no meaning, and can only acquire a meaning by a convention.

3. Not only have we no direct intuition of the equality of two periods, but we have not even direct intuition of the simultaneity of two events occurring in two different places.”[21]

Und zuletzt wird der Mechanik die Wahl der Geometrie überlassen, als mehr oder weniger konventioneller Akt:

“4. Finally, is not our Euclidean geometry in itself only a kind of convention of language? Mechanical facts might be enunciated with reference to a non-Euclidean space which would be less convenient but quite as legitimate as our ordinary space; the enunciation would become more complicated, but it still would be possible.

Thus, absolute space, absolute time, and even geometry are not conditions which are imposed on mechanics.”[22]

Sich eine bequeme Geometrie für die Physik auszusuchen, stellt nichts weiter als eine Konvention dar, zumal sich laut Poincaré alle Geometrien, ob Euklidisch oder nicht, auf ein und denselben Raum beziehen; weshalb Poincarés Haltung als ‚Konventionalismus’ bekannt geworden ist.[23] Welch ‚unkonventionelle’ Geometrie des Raums schließlich gewählt wurde, als die Relativitätstheorie auf den Plan trat,[24] war denn doch ausgesprochen gewöhnungsbedürftig. Nicht unbequem, doch ungewohnt war es, die Zeit nicht länger vom Raum zu trennen, sondern beides mittels einer Metrik zu verknüpfen, die alles andere als naheliegend erschien. Besiegelt wurde die Untrennbarkeit durch die Relativität der Simultaneität. Gleichzeitigkeit als absolut zu verstehen heißt, sie mißzuverstehen. Wer sich relativ zueinander bewegt, wird nicht die gleichen Ereignisse für gleichzeitig halten. Raum wird zu etwas ganz anderem, wenn die Zeit als Dimension inbegriffen ist.

„Raum und Zeit waren in der vorrelativistischen Physik getrennte Wesenheiten. Zeitliche Urteile galten unabhängig von der Wahl des Bezugsraumes. […] Die Auffassung des Geschehens war immer die eines vierdimensionalen Kontinuums; aber diese Erkenntnis wurde durch den absoluten Charakter der Zeit von der vorrelativistischen Physik verdunkelt. Mit dem Verlassen der Hypothese vom absoluten Charakter der Zeit, insbesondere der Gleichzeitigkeit, drängt sich jedoch die Erkenntnis von der Vierdimensionalität des Zeit-Räumlichen unmittelbar auf. Nicht der Raumpunkt, in dem etwas geschieht, nicht der Zeitpunkt, in dem etwas geschieht, hat physikalische Realität, sondern nur das Ereignis selbst. Zwischen zwei Ereignissen gibt es keine absolute (vom Bezugsraum unabhängige) räumliche und keine absolute zeitliche Beziehung, wohl aber eine absolute (von der Wahl des Bezugsraums unabhängige) zeit-räumliche Beziehung […]. Der Umstand, daß es keine objektiv-sinnvolle Zerspaltung des vierdimensionalen Kontinuums in ein dreidimensional-räumliches und ein eindimensional-zeitliches Kontinuum gibt, bringt es mit sich, daß die Naturgesetze erst dann ihre logisch befriedigendste Form annehmen, wenn man sie als Gesetze im vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum ausdrückt. Hierauf beruht der große methodische Fortschritt, den die Relativitätstheorie Minkowski verdankt.“[25]

Welch gravierende Konsequenzen darin für den physikalischen Begriff des Raums in Bezug auf die philosophischen Begriffe des Seins und des Werdens liegen, ist Einstein nicht entgangen.

„Da es in diesem vierdimensionalen Gebilde keine Schnitte mehr gibt, welche das ‚Jetzt’ objektiv repräsentieren, wird der Begriff des Geschehens und Werdens zwar nicht völlig aufgehoben, aber doch kompliziert. Es erscheint deshalb natürlicher, das physikalisch Reale als ein vierdimensionales Sein zu denken statt wie bisher als das Werden eines dreidimensionalen Seins.“[26]

Andererseits ist der Begriff der Zeit auf den Begriff von Bewegung angewiesen, nicht allein, weil es ohne regelmäßige Bewegung faktisch keine präzise Zeitmessung gäbe, sondern schon deshalb, weil zur exakten Definition des Ablaufs der Zeit prinzipiell eine Veränderung namhaft zu machen ist, die das absolute Maß von Regelmäßigkeit abgibt.

“How then is time defined? Time is defined so that motion looks simple!”[27]

Die Zeitmessung wird so operationalisiert, daß kräftefreie Bewegungen am einfachsten aussehen. Es sind Trägheitsbewegungen. Sie folgen sogenannten Geodäten im ungekrümmten oder gekrümmten vierdimensionalen Raum, womit gerade oder geradeste Verbindungslinien zwischen Ereignissen gemeint sind, repräsentiert durch Punkte, die nacheinander auf einer Weltlinie durchlaufen werden. Jene geodätischen Kurven, Linien nämlich, die überall so gerade wie möglich verlaufen, stellen den Ablauf von Bewegungen dar, wie sie sich von allein vollziehen, ohne von außen beeinflußt oder gestört zu werden. Anhand des physikalischen Raums mit dessen geodätischem Strukturgerüst, welches reguläre Bewegungsabläufe ohne Krafteinwirkung vorgibt, ergibt sich eine äußerst enge begriffliche Verschränkung zwischen räumlichen und zeitlichen Aspekten von Bewegung.

Ein gewagter Schritt Einsteins, den weder Lorentz noch Poincaré (mit-) machten, bestand darin, die dreidimensionale räumliche Struktur untrennbar mit der linearen zeitlichen Struktur zu verbinden, um die Idee der Galileischen Trägheitsbewegung, die materielle Körper ohne äußere Einwirkung von selbst vollziehen, ins Vierdimensionale des Raum-Zeit-Kontinuums zu übertragen. Deren Weltlinien stellen Geodäten im vierdimensionalen Raum dar. Zwischen Ereignissen bilden sie Linien extremaler Länge. In der Minkowski-Geometrie der Speziellen Relativitätstheorie handelt es sich um gerade Linien, in der Riemannschen Geometrie der Allgemeinen Relativitätstheorie im allgemeinen nicht, es sei denn, der Raum ist ‚flach’, also ungekrümmt. Lokal gesehen weichen schwach gekrümmte Linien von geraden umso weniger ab, je enger der betrachtete Ausschnitt gewählt wird, weshalb dort die Spezielle Relativitätstheorie näherungsweise anwendbar ist, ohne die Allgemeine Relativitätstheorie global gesehen überflüssig zu machen.

Eine der Pointen der Relativitätstheorie Einsteins im Vergleich zur klassischen Mechanik Newtons liegt darin, daß Weltlinien im vierdimensionalen Raum die Rolle von Bahnkurven im dreidimensionalen Raum übernehmen. Wo die Bewegung eines physikalischen Körpers von einer geodätischen Kurve im Raum abweicht, sind äußere Kräfte wirksam. Ohne die vierte Dimension des Raums wäre der zeitliche Verlauf mittels der Kurve selbst nicht wiederzugeben; ob eine dreidimensionale Bahnkurve gleichmäßig durchlaufen wird oder nicht, ist an deren Kurvenform nicht ablesbar. Ist dagegen der Ablauf der Zeit in die Form der Kurve, welche die Bewegung beschreibt, eingearbeitet, wie im vierdimensionalen Raum der Relativitätstheorie, ist ihr ohne weiteres anzusehen, wie die Bahn zeitlich durchlaufen wird. Trägheitsbewegungen als kräftefreie Bewegungen, die als solche an Geodäten im Raum gebunden sind, stammen zwar aus der klassischen Physik, doch übernimmt sie die relativistische Physik nicht ohne eine generalisierende Uminterpretation, welche den Unterschied zwischen Bahnkurven und Weltlinien ausmacht: Aus geraden Linien des dreidimensionalen Raums, die gleichmäßig durchlaufen werden, sind geodätische Kurven im ungekrümmten oder gekrümmten vierdimensionalen Raum geworden.

Schon die klassische Mechanik kennt, in ihrer verallgemeinerten Fassung als Lagrange-Mechanik oder Hamilton-Mechanik, höherdimensionale Räume wie den Phasenraum, in denen Bewegungsabläufe anhand von Extremalprinzipien für Kurven in solchen Räumen charakterisierbar sind, doch in der Relativitätstheorie ist an eine engere und andersartige Verkoppelung von räumlichen Koordinaten mit der zeitlichen Koordinate gedacht. Codiert ist die vierdimensionale Geometrie des Raum-Zeit-Kontinuums in einer Pseudo-Riemannschen Metrik, die nicht mit der n‑dimensional verallgemeinerbaren Euklidischen Metrik übereinstimmt.

Sonst wäre nämlich keine Geschwindigkeit invariant, sondern würde bei Koordinatentransformationen unterschiedliche Werte annehmen. Eben dies trifft auf eine ganz bestimmte Geschwindigkeit nicht zu, die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, wie Messungen wider Erwarten ergaben.[28] Daß irgendeine Geschwindigkeit invariant sei, nicht bloß konstant, verstieß eklatant gegen die klassische Transformation zwischen Koordinatensystemen, Galilei-Transformation genannt. Lorentz und Poincaré machten eine abweichende Umrechnung von Koordinaten ausfindig, seither als Lorentz-Transformation oder noch etwas weiter gefaßt als Poincaré-Transformation bekannt, um rechnerisch der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit gerecht zu werden, indem räumliche und zeitliche Koordinaten wechselseitig ineinander umgewandelt, also nicht getrennt voneinander behandelt werden, wie es bei der Galilei-Transformation geschieht. Lorentz und ebenso Fitzgerald gingen von einer geschwindigkeitsabhängigen Längenkontraktion in Bewegungsrichtung aus. Die eigentliche physikalische Bedeutung der rein mathematisch richtigen Transformationsformeln zu verstehen, schien alles andere als einfach zu sein, und anders als es Lorentz oder Poincaré beabsichtigte, machte Einstein jene Kopplung von Raum und Zeit zur Grundlage einer Theorie, welche den tradierten Rahmen der Physik sprengte. Als anschließend Minkowski die Spezielle Relativitätstheorie mit einer Raum-Zeit-Geometrie versah, deren Metrik allen üblichen Vorstellungen zuwiderlief, teilten sich die Geister.[29] Und schließlich setzte sich die moderne Physik von der klassischen Physik ab, indem sie sich einerseits relativistisch ausrichtete, andererseits quantenmechanisch. Eine theoretisch einwandfreie Verquickung von Relativitätstheorie und Quantenphysik steht indessen nach wie vor aus.

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Die relativistische Physik verabschiedet sich von der tradierten Vorstellung des Raums als neutral bleibendem Rahmen für darin stattfindende Bewegungen, indem sie das Raum-Zeit-Kontinuum in die Bewegungsabläufe einbezieht, so daß die tradierte Scheidung zwischen inaktiven geometrischen Gegebenheiten, für die allein die Mathematik zuständig ist, und aktiven mechanischen Abläufen, die seitens der Physik untersucht werden, hinfällig wird. Zur Thematik der Physik gehört die Geometrie des Raums ebenso wie die Dynamik der Materie.

Als Raum wird ein vierdimensionales Kontinuum aufgespannt, ausgestattet mit einer nicht-euklidischen, Pseudo-Riemannschen Metrik, die als Tensor durch ein Feld definiert ist, welches seinerseits von der vorhandenen Materie, genauer gesagt, von der Verteilung und Bewegung von Masse oder Energie, abhängt. Zwischen Masse und Energie ist wegen der fundamentalen Identifikation, die sich in der Gleichung E = mc² niederschlägt, weder ontologisch noch physikalisch zu unterscheiden,[30] Zumal die invariante (Vakuum-) Lichtgeschwindigkeit c als 1 angesetzt werden kann, wenn Zeit- und Raumkoordinaten im selben Maß, das heißt in derselben Maßeinheit (etwa in Metern), gemessen werden.[31]

Statt die Trägheit eines materiellen Körpers, die bei jeder Beschleunigung als dessen (träge) Masse einer Änderung des Betrags oder der Richtung der momentanen Geschwindigkeit entgegenwirkt, von der kinetischen Energie zu unterscheiden, die in der Bewegung des Körpers steckt, ist gemäß der Relativitätstheorie beides gleichzusetzen, um „jegliche träge Masse als einen Vorrat von Energie aufzufassen.“[32] Noch eine weitere Übereinstimmung ist wichtig. In der vorrelativistischen Physik gab es keinen meßbaren Unterschied zwischen der (schweren) Masse, nach der sich die Gravitation – als wechselseitige ‚Massenanziehung’ zwischen materiellen Körpern – bemißt, und der (trägen) Masse, die in der Trägheit – als entgegenwirkender ‚Widerstand’ bei betrags- oder richtungsmäßiger Geschwindigkeitsänderung – besteht. Allerdings war die Ununterscheidbarkeit zwischen träger und schwerer Masse nichts weiter als ein experimentelles Faktum, das erst konzeptuelle Relevanz erlangte, als die Gleichsetzung beider Massen konstitutiv in die Relativitätstheorie einging.

Seit träge Masse, schwere Masse und Energie miteinander gleichgesetzt worden sind, ist ‚Materie’ begrifflich etwas anderes geworden als je zuvor. Als Schlüsselbegriff, der jene Identifikation konzeptuell vermittelt, fungiert das ‚Feld’. Zwischen materiellen Entitäten und geometrischen Strukturen kommt es zum Kontakt, indem ein Gravitationsfeld zwischengeschaltet wird. Es ist ein wechselseitiger, kein einseitiger Kontakt, da sich die mechanische Dynamik nach der vierdimensionalen Geometrie der physikalischen Sphäre richtet, letztere aber strukturell nicht unbeeinflußt bleibt. Einstein gelangt nämlich „zu dem Resultat: das Gravitationsfeld beeinflußt bzw. bestimmt die metrischen Gesetze des raumzeitlichen Kontinuums.“[33]

In Newtons Mechanik war keinerlei Rückwirkung physikalischer Entitäten auf die mathematische Struktur des Raums oder der Zeit vorgesehen, doch Einstein zufolge bleibt, während sich etwas bewegt und anders verteilt, die raumzeitliche Geometrie nicht unbeeinflußt. Jede materielle Umverteilung durch physikalische Bewegungsabläufe wirkt sich unmittelbar auf den vierdimensionalen Raum aus, in welchen alle Bewegungen als solche ‚eingebettet’ sind. Dessen Krümmung verändert sich lokal nach Maßgabe der wechselnden Konzentration und fortlaufenden Distribution von Materie, sei es als Masse oder Energie, und der veränderliche Grad der Krümmung beeinflußt wiederum den mechanischen Bewegungsablauf.

Der Bewegung eines annähernd punktförmigen Körpers entspricht eine kontinuierliche Weltlinie; bei einem ausgedehnten Körper wäre es stattdessen eine Schar von Weltlinien. Der Aufenthalt des Körpers an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit stellt ein Ereignis dar, wiedergegeben durch einen Punkt im vierdimensionalen Raum, und in der Gesamtheit jener Punkte besteht die Weltlinie des Körpers, die eine Kurve im vierdimensionalen Raum bildet. Wenn und nur wenn diese Kurve eine Geodäte darstellt, also möglichst geradlinig im möglicherweise gekrümmten Raum verläuft, vollzieht sich die Bewegung des Körpers kräftefrei, ansonsten unterliegt er während seiner Bewegung der Einwirkung äußerer Kräfte, die sich nicht gegenseitig aufheben und eine Abweichung der Weltlinie vom Verlauf geodätischer Linien bewirken. Wo der Raum ungekrümmt ist und die Geodäten gerade verlaufen, wird er als flach bezeichnet. Die gekrümmte Geometrie des vierdimensionalen Raums spiegelt sich in der Dynamik unbeeinflußter Körper wider.

Im relativistischen Sinne ist mit ’Raum’ jene vierdimensionale Mannigfaltigkeit gemeint, deren Topologie und Metrik zum einen räumliche und zeitliche Konstituenten amalgamisiert, zum anderen mit bewegter und verteilter Materie verkoppelt ist. Insofern ist der Raum selbst in die Mechanik involviert, da die dynamische Umverteilung von materiellen Entitäten die lokale und globale geometrische Krümmung des vierdimensionalen Kontinuums bedingt und vice versa. Weshalb gelegentlich von ‚Geometrodynamik’ gesprochen worden ist,[34] weil geometrische und mechanische Momente gemäß der Relativitätstheorie unmittelbar ineinandergreifen. Es ist das Phänomen der Gravitation, in dem sich die besagte Kopplung zwischen Geometrie und Mechanik manifestiert. Die Relativitätstheorie bildet, in ihrer allgemeinen Fassung, nichts anderes als eine Gravitationstheorie. Mit anderen Worten: „Space tells matter how to move. Matter tells space how to curve.“[35]

Das Entscheidende an der Allgemeinen Relativitätstheorie ist, daß sich die Krümmung des Raum-Zeit-Kontinuums als Gravitation auswirkt, so daß es sich letztlich um eine Theorie der Gravitation handelt. Was sich kräftefrei bewegt, ‚folgt’ geodätischen Weltlinien, und wenn sich anfänglich parallele Geodäten wegen der Krümmung des vierdimensionalen Raums einander annähern oder voneinander entfernen, wirkt es, als wären irgendwelche anziehenden oder abstoßenden Kräfte am Werk. Einsteins Erklärung der Newton unerklärlich gebliebenen Gravitationskräfte liegt darin, daß es zur Gravitation gar keiner Kraft bedarf. Die Anziehung läßt sich (lokal) wegtransformieren, indem ein frei fallendes (free floating) Koordinatensystem verwendet wird (das raumzeitlich nicht allzu weit ausgedehnt sein darf); andernfalls stellen sich gewisse Anziehungseffekte ein.[36] Den eigentlichen Wirkungszusammenhang[37] zwischen Geometrie und Materie stiftet das Gravitationsfeld, in dem sich nichts anderes ausdrückt als die Variation der lokalen Krümmung des vierdimensionalen Raums. Eine vermeintliche Anziehung zwischen Massen, gemeinhin Schwerkraft genannt, existiert nicht.

„Curvature in geometry manifests itself as gravitation. Gravitation works on the separation of nearby particle world lines. In turn, particles and other sources of mass-energy cause curvature in the geometry. How does one break into this closed loop of the action of geometry on matter and the reaction of matter on geometry? One can begin no better than by analyzing the motion of particles and the dynamics of fields in a region of spacetime so limited that it can be regarded as flat.”[38]

Die Geometrie des flachen Raums, des vierdimensionalen Minkowski-Raums, behandelt die Spezielle Relativitätstheorie, und die Allgemeine Relativitätstheorie geht zu gekrümmten Räumen über. Die Feldgleichungen nehmen entsprechende Form an, und nur im flachen Raum verlaufen alle Geodäten geradlinig. Es handelt sich um nichtlineare Differentialgleichungen, zehn insgesamt, denen ein vierdimensionaler Raum zu genügen hat, um als Raum-Zeit-Kontinuum der Physik in Frage zu kommen. Um diese Gleichungen zu lösen, ist das Gravitationsfeld in Form der Raumkrümmung mit den Quellen des Feldes, nämlich der als Masse oder Energie verteilten Materie, in Einklang zu bringen. Lösungen zu finden, ist schwierig, und wegen der Nichtlinearität der Gleichungen führt die Überlagerung gefundener Lösungen im allgemeinen nicht zu weiteren Lösungen. Oftmals werden nur approximative statt exakter Lösungen ermittelt. Gewisse Lösungen, beispielsweise die Schwarzschild-Lösung (1916) oder die Kerr-Lösung (1963), die für kugelsymmetrische beziehungsweise rotierende schwarze Löcher gelten,[39] sind nicht frei von Singularitäten. Es sind irreguläre Stellen oder Gebiete im Raum, wo das betreffende Koordinatensystem ‚aussetzt’ (Koordinatensingularitäten), oder wo die einschlägigen physikalischen Formeln ‚versagen’ (intrinsische oder echte Singularitäten). Ob solche Singularitäten jemals echt sind, oder bei geschickt konstruierten Koordinaten und ohne realitätsferne Symmetrieanforderungen gar nicht in Erscheinung treten, war eine ebenso wichtige wie umstrittene Frage. Nahtlose Übergänge zwischen wechselnden Koordinatensystemen sind ohnehin nötig, weil es im allgemeinen keines gibt, das den gekrümmten Raum insgesamt abdeckt, weshalb zu dessen Kartierung ein ‚Atlas’ aus überlappenden ‚Karten’ zusammenzustellen ist, wie es sinnigerweise heißt.

Ist eine Singularität so etwas wie ein blinder Fleck des theoretischen Hintergrunds, der unter geändertem Blickwinkel wieder verschwindet? Oder gerät die physikalische Theorie dort definitiv an den Rand ihres Blickfelds? Mit den Singularitätstheoremen, deren erstes Penrose (1965) anhand seiner methodischen Einführung einer topologischen Herangehensweise bewies, die als ‚globale Methode’ bekannt wurde und der Relativitätstheorie zu enormen Fortschritten verhalf, wurde die Frage beantwortet, wie echt oder unecht gewisse Singularitäten eigentlich sind. Im Innern eines schwarzen Lochs tritt eine waschechte Singularität auf, keine bloß koordinatenbedingte, und beim Urknall (big bang) ebenfalls. Weitere wichtige theoretische Resultate gehen auf Hawking, Penrose und andere zurück, wobei Hawking (1974) die Quantenphysik von Vakuum­fluktuationen auf schwarze Löcher anwandte und überraschende Ergebnisse erzielte, was deren Entropie samt thermischer Strahlung anbelangt (Hawking-Effekt). Von einer noch ausstehenden Theorie der Quantengravitation, die sich allenfalls andeutungsweise abzeichnet, wäre unter anderem zu erwarten, daß sie näheren Aufschluß über die innere Physik von Singularitäten gibt, an welche die Relativitätstheorie allenfalls von außen heranreicht; oftmals strebt bei der Annäherung an eine Singularität die Raumkrümmung gegen unendlich.

“[Penrose] invented the concept of a ‘trapped surface’. This is a closed surface, such that all light emitted on it moves inward; […]. (Technically, one requires both inward and outward directed light rays to ‘converge’.) And then he proved that under some very reasonable assumptions (positivity of energy, etc.) a singularity must form inside any trapped surface.”[40]

Ein schwarzes Loch entzieht sich jedem Einblick von außen durch einen sogenannten Ereignishorizont, der es abschirmt. Was hinter den Ereignishorizont gelangt, verschwindet ohne Wiederkehr, und auch keinerlei Information via Licht kehrt zurück. Die Singularität ist, ebenso wie ihre nähere Umgebung, von außen unsichtbar. Ob es unter den Singularitäten auch welche gibt, die sich nicht verbergen, ist gegenwärtig noch offen. Penrose vertritt die These von der ‚kosmischen Zensur’, die das Auftreten ‚nackter’ Singularitäten generell verbietet; eine unwiderlegte Hypothese, die nicht unwidersprochen blieb.

Wird das physikalische Universum, welches in seiner Gesamtheit den Untersuchungsgegenstand von Kosmologie bildet, auf einer genügend großen Skala betrachtet, stellt sich die Frage, ob es als isotrop und als homogen anzusehen ist. Wird die Verteilung der Materie insgesamt, obgleich sie in kleinen Bereichen recht unterschiedlich sein mag, mit größer werdendem Maßstab immer gleichmäßiger, so sind beide Annahmen naheliegend, und gegenwärtig spricht nichts dagegen, von der Homogenität und Isotropie des kosmischen Raums auszugehen. Daß sich beides zunehmend verliert, je kleinere Ausschnitte des Ganzen miteinander verglichen werden, ändert nichts daran, daß im Großen anscheinend keine Granularität, keine Inhomogenität, keine Anisotropie vorliegt, so daß es nicht unzulässig ist, von unserer eigenen näheren kosmischen Umgebung ausgehend zu extrapolieren. Homogen beziehungsweise isotrop ist ein Raum, wenn und nur wenn darin kein Ort beziehungsweise keine Richtung vor anderen ausgezeichnet ist; wobei sich aus der Isotropie die Homogenität folgern läßt. Ebenfalls unterstellt worden ist die vermeintliche Statizität des Universums, bis dessen Expansion anhand des relativistischen Dopplereffekts entdeckt wurde. Er führt zur Verschiebung von Frequenzen im Lichtspektrum ferner Lichtquellen, und zwar proportional zur deren Fluchtgeschwindigkeit. Wie sich die expansive Ausdehnung des Universums zukünftig verändert, ob sie sich verlangsamt oder beschleunigt, und ob sie sich irgendwann in eine Gegenbewegung umkehrt, ist ungewiß. Zumal quantenmechanische Szenarien in die relativistische Physik zu integrieren sind, während eine kohärente Konzeption des Konnexes zwischen Mikro- und Makrokosmos noch aussteht. Unter dem Stichwort ‚Quantengravitation’ werden unterschiedlichste Ansätze verfolgt, doch deren nähere Ausarbeitung stößt auf erhebliche Schwierigkeiten theoretischer Art, so daß empirisch relevante Resultate nicht absehbar sind.

Um ein stabiles, statisches und in sich geschlossenes, randloses Universum zu garantieren, hatte Einstein (1917) eine folgenschwere Modifikation seiner Feldgleichungen vorgenommen, indem er die sogenannte kosmologische Konstante einführte. Eine irrige Präsumtion, wie er nachträglich einsah, als Hubble (1929) die Expansion des Universums nachwies. Die am Teleskop meßbare Rotverschiebung (redshift) von Spektrallinien zeugte von der Zunahme intergalaktischer Abstände im Weltall. Das Universum war – in toto – anscheinend dynamischer als angenommen.

Trotzdem ist der kosmologische Korrekturterm, ursprünglich eingefügt wegen mangelnder Stabilität des Zustands, den die Gleichungen sonst für das Universum voraussagten, inzwischen nicht bedeutungslos geworden. Er dient dazu, die Dynamik des Ganzen in astronomischen Größenordnungen zu justieren. Nimmt die kosmologische Konstante einen Wert ungleich null an, stellt sich eine Gegenwirkung zur Gravitation ein, die sie abschwächt, oder aber eine verstärkende Wirkung, je nachdem, ob der Wert positiv oder negativ ist. Es würde sich lokal fast gar nicht bemerkbar machen, aber die globale Krümmung des Raums modifizieren, wenn der Wert geringfügig von null abwiche. Manches spricht für einen ziemlich kleinen positiven Wert. Die Krümmung des Raums wäre dann nicht allein durch die verteilte Energie als Quelle des Gravitationsfelds bedingt. Und der leere Raum, als solcher quellfrei, wäre bei positiver kosmologischer Konstante nicht etwa flach (im Sinne Minkowskis), sondern konstant negativ gekrümmt, woraus ein Universum resultiert (nach de Sitter benannt), das niemals aufhört zu expandieren; wogegen ein geschlossenes Universum, in dem ein ‚big bang’ einen ‚big crunch’ nach sich zieht, positiv gekrümmt ist. Bezogen auf die drei räumlichen Dimensionen, die den ‚normalen’ Raum im engeren Sinne bilden (wie bei Euklid), wird im Falle negativer Krümmung von hyperbolischer Geometrie gesprochen, und von elliptischer Geometrie bei positiver Krümmung.[41]

Zwischen kosmologisch relevanten Maßstäben und mikrophysikalischen Ausmaßen gemäß der Planck-Skala gibt es größenordnungsmäßig zwar einen enormen Unterschied, doch da die Raumstruktur für die ganze Spannbreite physikalischer Phänomene relevant ist, ist über sämtliche Größenordnungen hinweg keinerlei Inkompatibilität zulässig. Sonst zerfiele die Physik in separate Segmente. Der makroskopische Raum ist strukturell durch die Gravitation bedingt, doch nichts dergleichen wäre mikroskopisch wiederzufinden, wenn die Quantenphysik ohne Gravitation formuliert würde. Letzteres stellt gegenwärtig ein ungelöstes Problem sondergleichen dar (quantum gravity). Ansätze zur Quantengravitation finden sich, wie gesagt, in diversen Theorien; wie String-Theorie(n), Loop-Theorie, Twistor-Theorie etc.

Das Ziel der stringtheoretischen Konzeption ist es, die punktförmigen Partikel des quantenmechanischen Standardmodells durch schwingungsfähige fadenartige oder flächenhafte Elemente zu ersetzen. Zu unterscheiden ist zwischen (unrealistischen) bosonischen Stringtheorien, deren Strings in einem 26‑dimensionalen Raum schwingen, aber nur Bosonen, keine Fermionen dazustellen vermögen, und (realistischeren) supersymmetrischen Stringtheorien, die einen 10‑dimensionalen Raum benötigen und neben Bosonen auch Fermionen als Schwingungen von Strings deuten, wobei die inzwischen bekannten fünf Superstringtheorien durch eine 11‑dimensionale Version, die sogenannte M‑Theorie geeint werden, so daß sie als Facetten einer einzigen Theorie erscheinen, welche allerdings noch weitgehend im Verborgenen liegt. Eine der Dimensionen ist zeitlich, die restlichen sind räumliche Dimensionen. Bis auf vier Dimensionen, deren eine die Zeit ist, sind alle anderen räumlichen Dimensionen normalerweise so eng ‚aufgewickelt’, daß sie makroskopisch nicht weiter in Erscheinung treten, mikroskopisch aber zusätzliche Freiheitsgrade eröffnen. Mit kompaktifizierten Dimensionen wird im Raum genügend Platz für vielfältige Vibrationen geschaffen, denen wiederum die enorme Vielfältigkeit quantenmechanischer Partikel entspricht. Bei den Strings selbst ist zu unterscheiden zwischen offenen und geschlossenen; im höherdimensionalen Raum werden daraus Hyperflächen oder Membranen (D‑branes). Dem Spektrum möglicher Schwingungszustände solcher Strings verdanken sich sämtliche quantenmechanischen Interaktionen. Der gravierende Mangel des Standardmodells in der Quantenphysik, keine gravitativen Wechselwirkungen modellieren zu können, scheint stringtheoretisch behebbar zu sein,[42] doch noch ist unbekannt, ob und inwieweit das ansonsten bewährte Standardmodell seitens der Stringtheorie(n) herleitbar ist. Würde das bislang akzeptierte quantenmechanische Modell gar nicht oder nicht eindeutig genug reproduziert, wäre der stringtheoretische Approach zwar interessant aber irrelevant.

Die in der Stringtheorie veranschlagten räumlichen Extradimensionen ‚verbergen’ sich übrigens nicht unbedingt in Größenordnungen der Planck-Länge, die etwa 10-35m beträgt, sondern könnten unter Umständen bis in Bereiche von einem zehntel Millimeter ‚hineinragen’, ohne zu theoretischen Unstimmigkeiten zu führen. Zur Konfrontation theoretischer Konsequenzen mit faktischen Experimenten fehlt jedoch noch jede Handhabe, die interne Struktur der Theorie ist zudem ungeklärt, und die zweifellos attraktive Hypothese der Supersymmetrie ist ungetestet.

Das Vorbild für die Hinzunahme weiterer Dimensionen gab die Kaluza-Klein-Theorie ab, als Kaluza (1921) eine fünfte Dimension zum vierdimensionalen Raum hinzufügte, von Einstein übrigens gebilligt, um außer der Gravitation (in Gestalt von Einsteins Feldgleichungen) auch den Elektromagnetismus (in Gestalt von Maxwells Gleichungen) räumlich ‚unterzubringen’. Es verstecken sich Kräfte im Raum – wenn man so will.

4     Literatur

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(Copyright by Peter Gold)


[1] Abgesehen von abstrakteren Raumkonzepten, die in der Physik gebräuchlich sind: zum Beispiel der n‑dimensionale Phasenraum oder der unendlich-dimensionale Hilbert-Raum.

[2]Die Gesetze der Physik müssen so beschaffen sein, daß sie in bezug auf beliebig bewegte Bezugssysteme gelten.“ [Einstein, „Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie“, p.772]

[3] „Wir kommen also zu dem Resultat: das Gravitationsfeld beeinflußt bzw. bestimmt die metrischen Gesetze des raumzeitlichen Kontinuums.“ [Einstein, Grundzüge der Relativitätstheorie, p.62f]

[4] Newton, Mathematical Principles of Natural Philosophy, p.408f

[5] Newton, Mathematical Principles of Natural Philosophy, p.408

[6] „It is especially clear from Leibniz’s correspondence with Huygens that he tried desperately for years without success to find a dynamical argument for the relativity of motion. Yet it is a curious fact for us today to note that actually he came very near to Mach’s solution of the problem. In his »De Causa Gravitatis, et Defensio Sententiae Autoris de veris Naturae Legibus contra Cartesianos« Leibniz tried to demonstrate that gravity is not explicable as a force acting at a distance, but is reducible to the contiguous action of the surrounding ether. […] he tried to reduce gravity to a centrifugal force […]. Directly opposite to this was Mach’s daring description of centrifugal forces as a disguised gravitational action.” [Jammer, Concepts of Space, p.119f]

[7] cf. Jammer, Concepts of Space, p.143

[8] Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch-kritisch dargestellt, p.226

[9] Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch-kritisch dargestellt, p.227

[10] Zumal Newton laut Mach „zwar manches über diese Dinge geredet, aber durchaus keine ernste Anwendung von denselben gemacht hat.“ [Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch-kritisch dargestellt, Vorwort zur siebten Auflage (1912), p.XXXI]

[11] Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch-kritisch dargestellt, Vorwort zur siebten Auflage (1912), p.XXXI

[12] „Freilich war mir Machs Auffassung bekannt geworden, nach der es als denkbar erschien, daß der Trägheitswiderstand nicht einer Beschleunigung an sich, sondern einer Beschleunigung gegen die Massen der übrigen in der Welt vorhandenen Körper entgegenwirke. Dieser Gedanke hatte für mich etwas Faszinierendes, aber er bot keine Grundlage für eine neue Theorie.“ [Einstein, „Einiges über die Entstehung der allgemeinen Relativitätstheorie“, p.150]

[13]Mach’s principle updated and spelled out: »Specify everywhere the distribution and flow of mass-energy and thereby determine the inertial properties of every test particle everywhere and at all times«.” [Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation, p.543]

[14] cf. Schröder, Gravitation, p.24f

[15] Wobei übrigens inhaltlich abweichende Varianten des Prinzips formuliert und diskutiert werden, welches Mach im Sinne von Einstein zuzuschreiben ist.

[16] “[…] moving matter gravitates differently from matter at rest. […] moving matter generates a ‘gravimagnetic’ field which pushes moving test masses sideways, just as a magnetic field pushes moving charges sideways.” [Rindler, Relativity. Special, General, and Cosmological, p.302]

[17] Rindler, Relativity. Special, General, and Cosmological, p.338

[18] Vor allem in der Wissenschaftstheorie und in der Analytischen Philosophie wurde die Thematik aufgegriffen.

[19] Poincaré, Science and Hypothesis, p.xxiv

[20] “The important thing is not to know what force is, but how to measure it. Everything which does not teach us how to measure it is as useless to the mechanician as, for instance, the subjective idea of heat and cold to the student of heat. This subjective idea cannot be translated into numbers, and is therefore useless.” [Poincaré, Science and Hypothesis, p.106]

[21] Poincaré, Science and Hypothesis, p.90

[22] Poincaré, Science and Hypothesis, p.90

[23] cf. Reichenbach, The Philosophy of Space and Time, p.35ff

[24] “The surprising result was the fact that the world is non-Euclidean, as the theorists of relativity are wont to say; […]. This outcome had not been anticipated, and Helmholtz and Poincaré still believed that the geometry obtained could not be proved to be different from Euclidean geometry. Only Einstein’s theory of gravitation predicted the non-Euclidean result which was confirmed by astronomical observations.” [Reichenbach, The Philosophy of Space and Time, p.36]

[25] Einstein, Grundzüge der Relativitätstheorie, p.33f

[26] Einstein, Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie, p.103; cf. auch p.81

[27] Misner / Thorne / Wheeler, Gravitation, p.23; cf. ib. p.26

[28] Als experimentum crucis gilt die von Michelson und Morley (1887) mittels eines Interferometers ausgeführte Präzisionsmessung.

[29] Angetan davon waren weder Mach, noch Michelson und Morley, selbst Lorentz und Poincaré nicht. Es änderte nichts an der radikalen Wende, die in der Physik eintrat; was einem ‚spatial turn’ gleichkam.

[30] „Masse und Energie sind also wesensgleich, d. h. nur verschiedene Äußerungsformen derselben Sache. Die Masse eines Körpers ist keine Konstante, sondern mit dessen Energieänderungen veränderlich.“ [Einstein, Grundzüge der Relativitätstheorie, p.49]

[31] Licht legt im Vakuum einen Meter Raum in einem Meter Zeit zurück, falls als Zeitkoordinate statt t der Wert ct gewählt wird, da die Lichtgeschwindigkeit c = 299792458m/s beträgt, und zwar relativ zu beliebigen Bezugssystemen. Daß der angegebene Wert per definitionem gilt, und nicht etwa mit irgendeinem Meßfehler behaftet ist, rührt daher, daß die beiden Maßeinheiten Meter und Sekunde inzwischen nicht mehr unabhängig voneinander eingeführt werden, wobei das ehemalige Urmeter als Längennormal ausgedient hat und die Schwingungsfrequenz einer Atomuhr das gültige Zeitnormal liefert. Deshalb ‚vermittelt’ die invariante Lichtgeschwindigkeit c zwischen den Maßeinheiten für räumliche Distanzen und zeitliche Intervalle, so daß ohne weiteres auf eine von beiden Einheiten verzichtet werden kann. Letzteres bildet übrigens eine nicht unwichtige Bedingung dafür, daß die eigentliche Raum-Zeit-Struktur in möglichst entzerrter Form hervortritt.

[32] Einstein, „Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen“, p.442

[33] Einstein, Grundzüge der Relativitätstheorie, p.62f

[34] cf. Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation, p.vii

[35] Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation, p.5

[36] “Aus diesen Erwägungen sieht man, daß die Durchführung der allgemeinen Relativitätstheorie zugleich zu einer Theorie der Gravitation führen muß; denn man kann ein Gravitationsfeld durch bloße Änderung des Koordinatensystems ‚erzeugen’.“ [Einstein, „Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie“, p.773]

[37] Laut Einstein „widerstrebt es dem wissenschaftlichen Verstande, ein Ding zu setzen (nämlich das zeiträumliche Kontinuum), was zwar wirkt, auf welches aber nicht gewirkt werden kann.“ [Einstein, Grundzüge der Relativitätstheorie, p.58]

[38] Misner / Thorne / Wheeler, Gravitation, p.47

[39] Den Ausdruck ‚black hole’ prägte Wheeler, ‚wormhole’ ebenfalls, sowie den Slogan ‚Black holes have no hair’, weil schwarze Löcher einander auf’s Haar gleichen, falls sie in (nur) drei Parametern übereinstimmen: Masse, elektrische Ladung, Drehimpuls.

[40] Rindler, Relativity. Special, General, and Cosmological, p.279

[41] „What, then, is the observed status of the large-scale spatial geometry of the universe? It is only fair to say that we do not yet know, although there have been recent widely publicized claims that Euclid was right all along, and his fifth postulate holds true also, so the averaged spatial geometry is indeed what we call ‘Euclidian’. On the other hand, there is also evidence (some of it coming from the same experiments) that seems to point fairly firmly to a hyperbolic overall geometry for the spatial universe. Moreover, some theoreticians have long argued for the elliptic case, […] the issue is still fraught with controversy and, as might be expected, often heated argument. […] (and I do not attempt to hide my own opinion in favour of the hyperbolic case, while trying to be as fair to the others as I can).” [Penrose, The Road to Reality, p.48]

[42] „String theorists sometimes say that string theory has already made at least one successful prediction: it predicted gravity! […] There is a bit of jest in saying so – after all, gravity is the oldest known force in nature. […] there is a very substantial point to be made here. String theory is the quantum mechanics of a relativistic string. In no sense whatsoever is gravity put into string theory by hand. It is a complete surprise that gravity emerges in string theory. Indeed, none of the vibrations of the classical relativistic string correspond to the particle of gravity. It is a truly remarkable fact that we find the particle of gravity among the quantum vibrations of the relativistic string. […] The striking quantum emergence of gravitation in string theory has the full flavor of a prediction.” [Zwiebach, A First Course in String Theory, p.10]

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Aufriß des Lambda-Kalküls (in Lisp-Notation)

Der Lambda-Kalkül als formallogische Abstraktion dessen, was Algorithmen sind, was sie leisten, wozu sie fähig sind und wozu nicht, bedient sich einer suggestiven Notation, die anders als die ebenso abstrakte Modellbildung durch die Turing-Maschine(n) alle algorithmischen Abläufe mathematisch-symbolisch (re‑)konstruiert, statt codierte Programme auf einer virtuellen Maschine (quasi‑)prozedural zu implementieren. Im Lambda-Kalkül wird der mathematische Kern von Algorithmen in die formale Symbolik selbst ‘eingelagert’ oder ‘eingebaut’, bei der Turing-Maschine wird der mathematische Sinn von Algorithmen in einen separaten Code ‘übertragen’ oder ‘übersetzt’. Es erinnert in gewisser Weise an die subtile, letztlich illusorische Differenz, wie sie zwischen einem Interpreter und einem Compiler entsteht, obwohl in beiden Fällen mit einer durchformalisierten Sprache gearbeitet wird, um ein ausführbares Programm zu schreiben. Die Modellierung abstrakter Strukturen durch den Lambda-Kalkül einerseits und durch die Turing-Maschine(n) andererseits erweckt den Eindruck, als sei, um es scholastisch auszudrücken, zwischen intentio recta und intentio obliqua zu unterscheiden. Wie gesagt, es handelt sich um eine Illusion, die allerdings alles andere als abwegig ist.

Wird von der üblichen Punkt-Notation des Lambda-Kalküls abgewichen, um sich den symbolischen Kalkül in Lisp-Notation anzusehen, hat das seinen eigenen Reiz, weil sich das funktionale/prozedurale Konzept in aller Unmittelbarkeit abzeichnet, wenn man mit Lisp oder Scheme vertraut ist. Daß sich die Lisp-Notation anbietet, um den Lambda-Kalkül, wie er von Alonzo Church konzipiert wurde, im Aufriß darzustellen, liegt daran, daß die Symbolik von Lisp (oder Scheme) eben daher stammt (mutatis mutandis). Es ergibt sich folgendes Bild:

Terme, Applikation und λ‑Abstraktion

  • Terme sind Variable wie a, b, c, … x, y, z, …, die als elementare Terme gelten, sowie
  • komplexe Terme der Gestalt (P Q) oder (λ (vQ), wobei P und Q (irgendwelche) Terme sind, und v (irgend‑) eine Variable ist.
  • Ein Term der Gestalt (P Q) heißt Applikation (des Operators P auf den Operanden Q).
  • Und ein Term der Gestalt (λ (vQ) heißt λ‑Abstraktion (oder einfach Abstraktion); wobei λ ein reserviertes Symbol des danach benannten Lambda-Kalküls ist.

Formeln

Als Formel gelten

  • Reduktion P → Q
  • Äquivalenz P = Q

wobei P und Q Terme sind.

Klammern (syntactic sugar)

  • Bei einer geschachtelten Applikation kann eine linksassoziative Klammerung unterdrückt und ein Term der Gestalt ((P QR) als (P Q R) geschrieben werden.
  • Eine geschachtelte Abstraktion der Gestalt (λ (u) (λ (vQ)) kann abgekürzt durch den Ausdruck (λ (u vQ) wiedergegeben werden, und entsprechend zu verstehen sind Ausdrücke wie (λ (u v wQ), (λ (u v w xQ) etc.

Freie vs. gebundene Variable

Eine Variable v, die im Term Q vorkommt, wird (darin) frei genannt, falls sie nicht im Geltungsbereich einer λ‑Abstraktion (λ (v) …) liegt, die einen (Sub‑) Term von Q bildet; andernfalls wird jene Variable als gebunden bezeichnet.

Umbenennung

Die Notation {y/x}Q steht für das Resultat einer (durchgängigen) Umbenennung der Variablen x in y innerhalb des Terms Q, egal ob sie darin frei oder gebunden vorkommt. Tritt die umzubenennende Variable im Term überhaupt nicht auf, bleibt er unverändert.

Substitution

Die Notation [P/x]Q repräsentiert das Resultat, das sich ergibt, wenn innerhalb des Terms Q die Variable x durch den Term P substituiert wird, und zwar überall wo sie darin frei vorkommt. Dabei dürfen allerdings keine freien Variablen des Terms P gebunden werden; zuvor sind deshalb im Term Q jene darin gebunden vorkommenden Variablen gleichen Namens auf geeignete Weise umzubenennen.

Axiome

  1. Q → Q
  2. Transitivität der Reduktion: mit P → Q und Q → R gilt P → R
  3. Mit P → Q gilt (R P) → (R Q)
  4. Mit P → Q gilt (P R) → (Q R)
  5. Mit P → Q gilt (λ (vP) → (λ (vQ)
  6. Reduktion bewahrt Semantik: mit P → Q gilt P = Q
  7. Kommutativität der Äquivalenz: mit P = Q gilt Q = P
  8. Transitivität der Äquivalenz: mit P = Q und Q = R gilt P = R
  9. Beta-Reduktion: ((λ (uQv) → [v/u]Q
  10. Eta-Reduktion: (λ (v) (Q v)) → Q, falls v in Q nicht frei vorkommt

Kalkulation als Reduktion

Unter einer Kalkulation ist eine Sequenz von Termen zu verstehen, die jeweils durch Reduktion auseinander hervorgehen, also etwa P → Q → R → S → T; wobei sich, abgesehen vom Term am Anfang, jeder weitere Term jener Sequenz reduktiv aus dem unmittelbar vorher­gehenden ergibt. Der vorangehende Term bei einer Reduktion wird Redex genannt, und der nachfolgende wird dann als Redukt bezeichnet.

Term vs. Form

Ein Term heißt Form, falls keine freien Variablen darin vorkommen.

Normalform

Ein Term ist in Normalform, falls er keine (Sub‑) Terme der Gestalt ((λ (vPQ) oder (λ (v) (Q v)) enthält. Und daß ein Term eine Normalform hat, heißt: Es gibt eine Kalkulation, die, ausgehend von jenem Term, mit einem Term in Normalform endet.

Church/Rosser-Theorem

Wenn P = Q für zwei Terme P und Q gilt, dann existiert ein Term R, so daß P → R und Q → R gilt.

Korollar:

Wenn ein Term eine Normalform hat, so ist diese eindeutig.

Wert

Die Normalform eines Terms ist als sein Wert zu betrachten. Daher ist, falls der Term überhaupt eine Normalform hat, sein Wert durch Kalkula­tion zu finden. Und jene Kalkulation bricht ab oder terminiert, sobald eine Normalform erreicht ist. Dagegen gibt es bei einem Term ohne Normal­form keine terminierende Kalkulation.

Term ohne Normalform

Wegen

((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v)))

→ ((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v)))

hat der Term ((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v))) keine Normalform.

Fundamentale Definitionen

Identität

id := (λ (uu)

Wahrheitswerte

true := (λ (u vu)

false := (λ (u vv)

Logik-Operatoren

not := (λ (u) (u false true))

and := (λ (u v) (u (v true falsefalse))

or := (λ (u v) (u true (v true false)))

Listen-Operatoren

car := (λ (v) (v true))

cdr := (λ (v) (v false))

cons := (λ (u v w) (w u v))

Natürliche Zahlen

0 := id

n‘ := (cons n true)

Zählen mit Successor,  Predecessor,  Zero-Prädikator

succ := (λ (v) (cons v true))

pred := car

zerop := (λ (v) ((cdr vfalse true))

Dotted-Pair

(P . Q) := (λ (w) (w P Q))

Fixpunkt‑Theorem

Zu jedem Term F existiert ein Term X, Fixpunkt von F genannt, so daß (F X) = X gilt.

Fixpunkt‑Konstruktion

X = ((λ (v) (F (v v))) (λ (v) (F (v v))))

Fixpunkt‑Operator

fxpt := (λ (f v) (f (v v))) (λ (v) (f (v v)))

Exemplarische Kalkulationen

(true id) = false

(true id)

→ ((λ (u vuid)

→ (λ (vid)

→ (λ (v) (λ (ww))

→ (λ (v ww)

→ false

(true P Q) = P

(true P Q)

→ ((λ (u vuP Q)

→ P

(false P Q) = Q

(false P Q)

→ ((λ (u vvP Q)

→ Q

(not true) = false

(not true)

→ ((λ (w) (w false true)) true)

→ (true false true)

→ false

(not false) = true

 (not false)

→ ((λ (w) (w false true)) false)

→ (false false true)

→ true                                                                                                                                                                                (

(not (not true)) = true

(not (not true))

→ (not false)

→ true

(not (not false)) = false

(not (not false))

→ (not true)

→ false

(not not) = (λ (u v w) v)

(not not)

→ (λ (w) (w false true)) (λ (u) (u false true))

→ ((λ (u) (u false true)) false true)

→ ((false false truetrue)

→ (true true)

→ ((λ (x ux) (λ (v wv))

→ (λ (u) (λ (v wv))

→ (λ (u v wv)

(not not true) = true

(not not true)

→ ((λ (u v wvtrue)

→ (λ (v wv)

→ true

[!]    (not not false) = true

(not not false)

→ ((λ (u v wvfalse)

→ (λ (v wv)

→ true

Extensionalität

Seien f und g Funktionen (im mathematisch üblichen Sinne). Wenn f(x) = g(x) für alle x gilt, dann ist f = g.

Beweis (mittels Eta-Reduktion):

Angenommen (P x) = (Q x) gilt für einen Term x, der nicht als freie Variable in den Termen P und Q vorkommt, dann gibt es einen Term T, so daß:

(P x) → T und (Q x) → T

Also:

(λ (x) (P x)) → (λ (x) T)

(λ (x) (Q x)) → (λ (x) T)

(λ (x) (P x)) = (λ (x) T)

(λ (x) (Q x)) = (λ (x) T)

(λ (x) (P x)) = (λ (x) (Q x))

(λ (x) (P x)) → P

(λ (x) (Q x)) → Q

(λ (x) (P x)) = P

(λ (x) (Q x)) = Q

P = Q

Kolloquium zur Theoretischen Philosophie

Mein Kolloquium zur Theoretischen Philosophie findet im Sommersemester 2013 wöchentlich am Mittwoch um 18:00 – 21:00 Uhr im Raum IG 3.401 am Campus Westend der Universität Frankfurt statt. Es wird im anschließenden Wintersemester fortgesetzt. Während der Semesterferien ist eine Unterbrechung nach dem 15. Juli bis zum Wiederbeginn am 18. September vorgesehen.

Feuerspeiender Drache für Microcontroller

Was erweckt einen AVR-Microcontroller von Atmel zum Leben? Ein Programm, geschrieben in Assembler oder C. Es läßt sich mittels ARV Studio 5 editieren, debuggen, compilieren, linken, flashen, so daß dem Controller der maschinenlesbare, um nicht zu sagen: unleserliche Code in binären Sequenzen von Nullen und Einsen eingehaucht wird. Indem der elektrisierende Atem des Drachen über den Speicher des Controllers hinwegstreicht, der in Kontakt mit dem Dragon-Board kommt.

Atmels Drachen auf dem Dragon-Board drängt sich nicht jedem auf, doch wer das unscheinbare Ungeheuer kennt, weiß es zu schätzen und will es nicht missen. Faucht der Drache, lernt der AVR was der Code verlangt: sich in rasanten Schleifen und mit riskanten Sprüngen zu bewegen, oder stillzuhalten, bevor er wieder aufgescheucht wird. Als Alf und Vegan das Risc-Konzept umsetzten, woher übrigens das Akronym AVR stammt (die norwegische Saga schweigt sich allerdings aus, und ein aufgezeichnetes Interview ist an der entscheidenden Stelle zufälligerweise gestört), vergaßen sie nicht, gewisse Sicherungen einzubauen. Wer sich unbedarft daran zu schaffen macht, sollte auf schlimme Folgen gefaßt sein. Doch wenn es darauf ankommt, solche Fuses zu manipulieren oder zu reparieren, läßt einen der Drache auch dabei nicht im Stich. Nebenbei trägt das Dragon-Board, wenn gewünscht, noch einen AVR mit sich herum. Sitzt der in einem eigens aufgelöteten Sockel, ist er auswechselbar. Die prototype area des Boards bietet Platz für den Schleudersitz. Entweder mit 28 oder mit 40 Pins, dual in-line. Programmiert wird jener Controller mittels des Boards, ohne bei der Programmierung anderer Controller zu stören. Allenfalls sind Kabel umzustecken, falls dieselbe Programmierschnittstelle gebraucht wird. Davon gibt es drei: JTAG, ISP sowie HV_PROG (für HVSP oder PP). Ein VCC-Anschluß ist ebenfalls vorhanden, der 5V mit maximal 300mA für externe Elektronik zur Verfügung stellt.

Im AVR Studio 5 wird dafür gesorgt, daß die Firmware des Dragon-Boards auf dem Laufenden bleibt. Ist das USB-Kabel eingesteckt und der Drache zur Stelle, werden widerspenstige Bits und Bytes in Angriff genommen, ohne ihnen die geringste Chance zu lassen. Schon in der schönen Schachtel, verziert mit einem goldenen Drachen-Emblem, schimmert die schwarze Platine undurchsichtig, als gebe es etwas zu verbergen. The dark side of the Force?

Blockseminar zur Logik

Mein Blockseminar zur Logik im Institut für Philosophie der Universität Frankfurt findet von Montag bis Freitag ganztägig ab 09:00 Uhr, beginnend am 13.02.12, am Campus Westend statt. Die abschließende Klausur ist für den darauffolgenden Montag 20.02.12 angesetzt. Zur Teilnahme am Seminar ist keine Voranmeldung nötig. Der Raum wird kurzfristig im Aushang des Instituts bekanntgegeben.

Literatur: Richard C. Jeffrey (& George Boolos),  Formal Logic. Its Scope and Limits, 3rd Edition, New York, Cambridge 1990/2004, oder 4th Edition (by John P. Burgess) 2006.

C# tritt elegant im kleinen Schwarzen auf

Code in C# und Microcontroller stehen sich nicht eben nahe, nehmen manche an. Angesichts eines winzigen Boards, des Netduino, erweist sich die Annahme als Irrtum. Wer dem ‘kleinen Schwarzen’ noch nicht begegnet ist, wird von dessen elegantem Äußeren nicht nur fasziniert sein, weil er weiß, was sich dahinter verbirgt. Wenn er es denn weiß. Ein 32-Bit-Controller von Atmel, getaktet mit 48MHz, der in C# programmierbar ist, und zwar ohne irgendein weiteres Board einzuschalten (wie etwa das auch nicht unelegante Dragon-Board). Der ARM7-Controller ist nämlich in das .NET Micro Framework eingebettet, das auf der Netduino-Hardware als Software implementiert ist.

Der Standdard-Version des Netduino steht ein Netduino Plus zur Seite, um gegebenenfalls auf 2 GB Speicher einer auswechselbaren MicroSD-Karte zurückzugreifen, sowie das Board ans Ethernet anzubinden, so daß sich die uneingeschränkte Kommunikationsfähigkeit mit dem LAN und WAN über das TCP/IP-Protokoll eröffnet. Aber auch ohne Netz im Hintergrund bietet sich das Board an, um C# als »see sharp« auszubuchstabieren. Es lassen sich digitale und analoge Ports ansprechen, Signale einlesen oder ausgeben, es laufen Timer ab, Interrupts werden ausgelöst, die PWM arbeitet nebenher, und zwischenzeitlich legt sich der Prozessor schlafen, solange es nichts weiter zu tun gibt.

Und all das geschieht unter Visual-C# aus der Entwicklungsumgebung heraus, an die das Netduino-Board unmittelbar angeschlossen ist, sobald der Stecker des Micro-USB-Kabels eingesteckt wird. Lediglich das .NET Micro Framework ist zuvor zu installieren. Es fügt sich nahtlos in die Entwicklungsumgebung von Visual-C# ein. Templates für Projekte mit dem Netduino beziehungsweise Netduino Plus lassen sich auswählen, und das Board wird im Debugging-Modus programmiert, wobei das Programm automatisch in den Flash-Speicher des Boards übertragen wird. Anschließend wird das Board abgenabelt, um bis zur nächsten Umprogrammierung allein zu arbeiten. Bei jedem Power-Up startet das Programm. Einen (Reset-) Taster gibt es auch, nebst weißer Kontroll-LED. Außer einer zusätzlichen blauen LED, die bequem ansteuerbar ist, ist sonst nichts weiter an Bord genommen worden. Knappes Design, es unterstreicht die sich bietenden Möglichkeiten. Auf dem Board, das dem bekannten und bewährten Arduino-Layout folgt, stehen geregelte 3.3V und 5.0V zur Verfügung. Es wird seinerseits über das angeschlossene USB-Kabel mit 5V versorgt, oder wahlweise über ein externes Netzteil oder eine entsprechenden Batterie mit Gleichspannung zwischen 7.5V und 12V.

Fehlt bloß noch ein eigenes Programm. Hier ein harmloses Beispiel:

// NetduinoPlus Timer Recipe (by Peter Gold)

// Device: NetduinoPlus
// Task: Invoke timer indicated by blue LCD on board.

using System;
using System.Net;
using System.Net.Sockets;
using System.Threading;
using Microsoft.SPOT;
using Microsoft.SPOT.Hardware;
using SecretLabs.NETMF.Hardware;
using SecretLabs.NETMF.Hardware.NetduinoPlus;

namespace NetduinoPlusTimer
{
    public class Program
    {
        static OutputPort led = new OutputPort(Pins.ONBOARD_LED, false); // blue LED on board

        public static void Main()
        {
            // specify time interval in milliseconds
            int timeInterval = 11000; // 11000ms = 11s
            // invoke timer
            System.Threading.Timer timer = new System.Threading.Timer(new TimerCallback(onTimer), null, 0, timeInterval);
            // let microcontroller sleep
            Thread.Sleep(Timeout.Infinite);
        }

        private static void onTimer(object state)
        {
            // notify each tick of timer by blinking blue LED
            led.Write(true); // LED on
            Thread.Sleep(300); // 300ms delay
            led.Write(false); // LED off
            // or toggle LED by: led.Write(!led.Read());
        }
    }
}

Das Programm, geeignet für den Netduino und den Netduino Plus, bewirkt lediglich, daß ein blaues Licht blinkt. Trotzdem ist das nicht ganz ohne. Immerhin wird auf Interrupt-Ebene gearbeitet. Der Prozessor ist nicht länger involviert, weshalb er seine Zeit verschläft, energiesparend.

Proseminar zur Formalen Logik

Mein Proseminar zur Formalen Logik findet in der Woche vom 21.02.11 – 25.02.11 täglich von 09:00 – 18:00 Uhr in Raum IG 0.457 am Campus Westend der Universität Frankfurt statt. Es ist keine Voranmeldung erforderlich. Die Klausur wird voraussichtlich am 28.02.11 um 17:00 Uhr geschrieben. Empfohlene Literatur: Richard C. Jeffrey (& George Boolos),  Formal Logic. Its Scope and Limits, 3rd Edition, New York, Cambridge 1990/2004, oder 4th Edition (by John P. Burgess) 2006.