Aufriß des Lambda-Kalküls (in Lisp-Notation)

Der Lambda-Kalkül als formallogische Abstraktion dessen, was Algorithmen sind, was sie leisten, wozu sie fähig sind und wozu nicht, bedient sich einer suggestiven Notation, die anders als die ebenso abstrakte Modellbildung durch die Turing-Maschine(n) alle algorithmischen Abläufe mathematisch-symbolisch (re‑)konstruiert, statt codierte Programme auf einer virtuellen Maschine (quasi‑)prozedural zu implementieren. Im Lambda-Kalkül wird der mathematische Kern von Algorithmen in die formale Symbolik selbst ‘eingelagert’ oder ‘eingebaut’, bei der Turing-Maschine wird der mathematische Sinn von Algorithmen in einen separaten Code ‘übertragen’ oder ‘übersetzt’. Es erinnert in gewisser Weise an die subtile, letztlich illusorische Differenz, wie sie zwischen einem Interpreter und einem Compiler entsteht, obwohl in beiden Fällen mit einer durchformalisierten Sprache gearbeitet wird, um ein ausführbares Programm zu schreiben. Die Modellierung abstrakter Strukturen durch den Lambda-Kalkül einerseits und durch die Turing-Maschine(n) andererseits erweckt den Eindruck, als sei, um es scholastisch auszudrücken, zwischen intentio recta und intentio obliqua zu unterscheiden. Wie gesagt, es handelt sich um eine Illusion, die allerdings alles andere als abwegig ist.

Wird von der üblichen Punkt-Notation des Lambda-Kalküls abgewichen, um sich den symbolischen Kalkül in Lisp-Notation anzusehen, hat das seinen eigenen Reiz, weil sich das funktionale/prozedurale Konzept in aller Unmittelbarkeit abzeichnet, wenn man mit Lisp oder Scheme vertraut ist. Daß sich die Lisp-Notation anbietet, um den Lambda-Kalkül, wie er von Alonzo Church konzipiert wurde, im Aufriß darzustellen, liegt daran, daß die Symbolik von Lisp (oder Scheme) eben daher stammt (mutatis mutandis). Es ergibt sich folgendes Bild:

Terme, Applikation und λ‑Abstraktion

  • Terme sind Variable wie a, b, c, … x, y, z, …, die als elementare Terme gelten, sowie
  • komplexe Terme der Gestalt (P Q) oder (λ (vQ), wobei P und Q (irgendwelche) Terme sind, und v (irgend‑) eine Variable ist.
  • Ein Term der Gestalt (P Q) heißt Applikation (des Operators P auf den Operanden Q).
  • Und ein Term der Gestalt (λ (vQ) heißt λ‑Abstraktion (oder einfach Abstraktion); wobei λ ein reserviertes Symbol des danach benannten Lambda-Kalküls ist.

Formeln

Als Formel gelten

  • Reduktion P → Q
  • Äquivalenz P = Q

wobei P und Q Terme sind.

Klammern (syntactic sugar)

  • Bei einer geschachtelten Applikation kann eine linksassoziative Klammerung unterdrückt und ein Term der Gestalt ((P QR) als (P Q R) geschrieben werden.
  • Eine geschachtelte Abstraktion der Gestalt (λ (u) (λ (vQ)) kann abgekürzt durch den Ausdruck (λ (u vQ) wiedergegeben werden, und entsprechend zu verstehen sind Ausdrücke wie (λ (u v wQ), (λ (u v w xQ) etc.

Freie vs. gebundene Variable

Eine Variable v, die im Term Q vorkommt, wird (darin) frei genannt, falls sie nicht im Geltungsbereich einer λ‑Abstraktion (λ (v) …) liegt, die einen (Sub‑) Term von Q bildet; andernfalls wird jene Variable als gebunden bezeichnet.

Umbenennung

Die Notation {y/x}Q steht für das Resultat einer (durchgängigen) Umbenennung der Variablen x in y innerhalb des Terms Q, egal ob sie darin frei oder gebunden vorkommt. Tritt die umzubenennende Variable im Term überhaupt nicht auf, bleibt er unverändert.

Substitution

Die Notation [P/x]Q repräsentiert das Resultat, das sich ergibt, wenn innerhalb des Terms Q die Variable x durch den Term P substituiert wird, und zwar überall wo sie darin frei vorkommt. Dabei dürfen allerdings keine freien Variablen des Terms P gebunden werden; zuvor sind deshalb im Term Q jene darin gebunden vorkommenden Variablen gleichen Namens auf geeignete Weise umzubenennen.

Axiome

  1. Q → Q
  2. Transitivität der Reduktion: mit P → Q und Q → R gilt P → R
  3. Mit P → Q gilt (R P) → (R Q)
  4. Mit P → Q gilt (P R) → (Q R)
  5. Mit P → Q gilt (λ (vP) → (λ (vQ)
  6. Reduktion bewahrt Semantik: mit P → Q gilt P = Q
  7. Kommutativität der Äquivalenz: mit P = Q gilt Q = P
  8. Transitivität der Äquivalenz: mit P = Q und Q = R gilt P = R
  9. Beta-Reduktion: ((λ (uQv) → [v/u]Q
  10. Eta-Reduktion: (λ (v) (Q v)) → Q, falls v in Q nicht frei vorkommt

Kalkulation als Reduktion

Unter einer Kalkulation ist eine Sequenz von Termen zu verstehen, die jeweils durch Reduktion auseinander hervorgehen, also etwa P → Q → R → S → T; wobei sich, abgesehen vom Term am Anfang, jeder weitere Term jener Sequenz reduktiv aus dem unmittelbar vorher­gehenden ergibt. Der vorangehende Term bei einer Reduktion wird Redex genannt, und der nachfolgende wird dann als Redukt bezeichnet.

Term vs. Form

Ein Term heißt Form, falls keine freien Variablen darin vorkommen.

Normalform

Ein Term ist in Normalform, falls er keine (Sub‑) Terme der Gestalt ((λ (vPQ) oder (λ (v) (Q v)) enthält. Und daß ein Term eine Normalform hat, heißt: Es gibt eine Kalkulation, die, ausgehend von jenem Term, mit einem Term in Normalform endet.

Church/Rosser-Theorem

Wenn P = Q für zwei Terme P und Q gilt, dann existiert ein Term R, so daß P → R und Q → R gilt.

Korollar:

Wenn ein Term eine Normalform hat, so ist diese eindeutig.

Wert

Die Normalform eines Terms ist als sein Wert zu betrachten. Daher ist, falls der Term überhaupt eine Normalform hat, sein Wert durch Kalkula­tion zu finden. Und jene Kalkulation bricht ab oder terminiert, sobald eine Normalform erreicht ist. Dagegen gibt es bei einem Term ohne Normal­form keine terminierende Kalkulation.

Term ohne Normalform

Wegen

((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v)))

→ ((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v)))

hat der Term ((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v))) keine Normalform.

Fundamentale Definitionen

Identität

id := (λ (uu)

Wahrheitswerte

true := (λ (u vu)

false := (λ (u vv)

Logik-Operatoren

not := (λ (u) (u false true))

and := (λ (u v) (u (v true falsefalse))

or := (λ (u v) (u true (v true false)))

Listen-Operatoren

car := (λ (v) (v true))

cdr := (λ (v) (v false))

cons := (λ (u v w) (w u v))

Natürliche Zahlen

0 := id

n‘ := (cons n true)

Zählen mit Successor,  Predecessor,  Zero-Prädikator

succ := (λ (v) (cons v true))

pred := car

zerop := (λ (v) ((cdr vfalse true))

Dotted-Pair

(P . Q) := (λ (w) (w P Q))

Fixpunkt‑Theorem

Zu jedem Term F existiert ein Term X, Fixpunkt von F genannt, so daß (F X) = X gilt.

Fixpunkt‑Konstruktion

X = ((λ (v) (F (v v))) (λ (v) (F (v v))))

Fixpunkt‑Operator

fxpt := (λ (f v) (f (v v))) (λ (v) (f (v v)))

Exemplarische Kalkulationen

(true id) = false

(true id)

→ ((λ (u vuid)

→ (λ (vid)

→ (λ (v) (λ (ww))

→ (λ (v ww)

→ false

(true P Q) = P

(true P Q)

→ ((λ (u vuP Q)

→ P

(false P Q) = Q

(false P Q)

→ ((λ (u vvP Q)

→ Q

(not true) = false

(not true)

→ ((λ (w) (w false true)) true)

→ (true false true)

→ false

(not false) = true

 (not false)

→ ((λ (w) (w false true)) false)

→ (false false true)

→ true                                                                                                                                                                                (

(not (not true)) = true

(not (not true))

→ (not false)

→ true

(not (not false)) = false

(not (not false))

→ (not true)

→ false

(not not) = (λ (u v w) v)

(not not)

→ (λ (w) (w false true)) (λ (u) (u false true))

→ ((λ (u) (u false true)) false true)

→ ((false false truetrue)

→ (true true)

→ ((λ (x ux) (λ (v wv))

→ (λ (u) (λ (v wv))

→ (λ (u v wv)

(not not true) = true

(not not true)

→ ((λ (u v wvtrue)

→ (λ (v wv)

→ true

[!]    (not not false) = true

(not not false)

→ ((λ (u v wvfalse)

→ (λ (v wv)

→ true

Extensionalität

Seien f und g Funktionen (im mathematisch üblichen Sinne). Wenn f(x) = g(x) für alle x gilt, dann ist f = g.

Beweis (mittels Eta-Reduktion):

Angenommen (P x) = (Q x) gilt für einen Term x, der nicht als freie Variable in den Termen P und Q vorkommt, dann gibt es einen Term T, so daß:

(P x) → T und (Q x) → T

Also:

(λ (x) (P x)) → (λ (x) T)

(λ (x) (Q x)) → (λ (x) T)

(λ (x) (P x)) = (λ (x) T)

(λ (x) (Q x)) = (λ (x) T)

(λ (x) (P x)) = (λ (x) (Q x))

(λ (x) (P x)) → P

(λ (x) (Q x)) → Q

(λ (x) (P x)) = P

(λ (x) (Q x)) = Q

P = Q

Blockseminar zur Logik

Mein Blockseminar zur Logik im Institut für Philosophie der Universität Frankfurt findet von Montag bis Freitag ganztägig ab 09:00 Uhr, beginnend am 13.02.12, am Campus Westend statt. Die abschließende Klausur ist für den darauffolgenden Montag 20.02.12 angesetzt. Zur Teilnahme am Seminar ist keine Voranmeldung nötig. Der Raum wird kurzfristig im Aushang des Instituts bekanntgegeben.

Literatur: Richard C. Jeffrey (& George Boolos),  Formal Logic. Its Scope and Limits, 3rd Edition, New York, Cambridge 1990/2004, oder 4th Edition (by John P. Burgess) 2006.

Proseminar zur Formalen Logik

Mein Proseminar zur Formalen Logik findet in der Woche vom 21.02.11 – 25.02.11 täglich von 09:00 – 18:00 Uhr in Raum IG 0.457 am Campus Westend der Universität Frankfurt statt. Es ist keine Voranmeldung erforderlich. Die Klausur wird voraussichtlich am 28.02.11 um 17:00 Uhr geschrieben. Empfohlene Literatur: Richard C. Jeffrey (& George Boolos),  Formal Logic. Its Scope and Limits, 3rd Edition, New York, Cambridge 1990/2004, oder 4th Edition (by John P. Burgess) 2006.

Proseminar: »Logik«

Mein Proseminar zur »Logik« im Sommersemester 2010 findet als Blockveranstaltung vom 15.03.10 – 19.03.10 von 09:00 – 18:00 Uhr in Raum IG 0.454 am Campus Westend der Universität Frankfurt statt.

Kausalität laut Aristoteles’ Physik

Bedenkt man, daß aitia neben ‘Ursache’, ‘Grund’ oder ‘Anlaß’ auch ‘Schuld’ bedeutet (aitios = schuldig, schuld, verantwortlich; der Schuldige, Urheber, Täter), so zielt die Frage nach Kausalität darauf ab, zu erfahren, was an etwas ‘schuld’ ist.

Um die von Aristoteles unterschiedenen ‘Ursachen’, nach denen gefragt werden kann, zu typisieren, ohne sie zu verdinglichen, ist es am besten, die Frage so neutral wie möglich zu formulieren:

Was (alles) ist schuld daran, daß etwas (ein Ding) das ist, was es ist, und daß es so ist, wie es ist?

Wird nach diesem Schema gefragt, wobei das Wort ‘Ursache’ nicht unabsichtlich vermieden wird, werden die Antworten unter vier verschiedenen Aspekten erfolgen, je nachdem, worauf Bezug genommen wird:

  1. causa materialis: das Material, aus dem etwas besteht (woraus ist das Ding gemacht?)
  2. causa formalis: die Form, die etwas aufweist (wie ist das Ding geformt?)
  3. causa efficiens: die Weise, wie etwas entstanden ist (wie ist das Ding zu diesem Ding geworden?)
  4. causa finalis: der Zweck, den etwas erfüllt (wozu ist das Ding gedacht?)

Statt nach einem ‘Ding’ oder einem ‘Gegenstand’ kann auch nach einer ‘Sache’ gefragt werden, oder neutraler nach einer Entität, nach irgendetwas. Eine ‘Ursache’ ist nun nicht ihrerseits eine ‘Sache’ oder ein ‘Ding’ im selben Sinne, sondern sie ist auch nur – irgendetwas.

(Copyright by Peter Gold)

Seminar: »Formale Logik«

Mein Seminar zur Einführung in die »Formale Logik« im Sommersemester 2009 findet vom 16.03.09 bis 20.03.09 um 09:00-18:00 Uhr am Campus Westend im Hörsaal IG 457 der Universität Frankfurt statt. Behandelt wird die Junktoren- und Quantoren-Logik. Es ist keine Voranmeldung zur Teilnahme an der Lehrveranstaltung erforderlich. Den Abschluß des Blockseminars bildet eine Klausur, die voraussichtlich nachmittags am 23.03.09 geschrieben wird.

Denken vs. Sprechen

Sprache als etwas, das dem Denken gleichgültig und selbstgenügsam gegenübersteht, ohne darauf angewiesen zu sein, daß in ihr oder mit ihr gedacht wird, um wirklich Sprache zu sein und nicht ins bloße Geschrei zurückzufallen, läßt sich nicht denken. Wenn es kein Denken jenseits von Sprache gibt, so heißt das nicht, daß es Sprache jenseits des Denkens gäbe. Bei der Rückbesinnung auf die Sprachlichkeit allen Denkens ist das nicht zu vergessen.

Wittgenstein hat im Tractatus logico-philosophicus den Gedanken der unmittelbaren Sprachgebundenheit des Denkens zu Ende zu denken versucht. Es sollte eine philosophische, zudem eine endgültige, unumstößliche Antwort auf die Frage gegeben werden, wie die Verschränkung von Logik und Ontologie überhaupt zu denken sei. Zugleich sollte allem sinnvollen Denken eine Grenze gezogen werden. Eine Grenze des Denkbaren könne als solche „nur in der Sprache gezogen werden”[1], sagt Wittgenstein, „und was jenseits der Grenze liegt, wird einfach Unsinn sein”.[2] Die Sprache zirkelt ab, was sich sagen läßt, und schränkt den Kreis dessen ein, was sinnvoll denkbar ist, wobei als Sprache nur eine logisch durchgeformte Sprache, wie sie Frege und Russell im Auge hatten,[3] in Frage kommt.

Die Grenzen meiner Sprache bedeuten die Grenzen meiner Welt.”[4]

„Die Logik erfüllt die Welt; die Grenzen der Welt sind auch ihre Grenzen.”[5]

Die später erfolgende Abkehr Wittgensteins von den im Tractatus verfolgten Absichten ging einher mit einer Abwendung von formalsprachlichen Systemen und der Hinwendung zu umgangssprachlichen Formen, oder zu ‚Sprachspielen’,[6] die sich den strengen Formalismen der Logik nicht unterordneten. Und auch die Logik selbst wurde zu einem, jetzt weit weniger verbindlichen Spiel.[7] In seinen Philosophische(n) Untersuchungen ist Wittgenstein immer wieder darauf zurückgekommen:

„F.P. Ramsey hat einmal im Gespräch mit mir betont, die Logik sei eine ‚normative Wissenschaft’. Genau welche Idee ihm dabei vorschwebte, weiß ich nicht; sie war aber zweifellos eng verwandt mit der, die mir erst später aufgegangen ist: daß wir nämlich in der Philosophie den Gebrauch der Wörter oft mit Spielen, Kalkülen nach festen Regeln, vergleichen, aber nicht sagen können, wer die Sprache gebraucht, müsse ein solches Spiel spielen. – Sagt man nun aber, daß unser sprachlicher Ausdruck sich solchen Kalkülen nur nähert, so steht man damit unmittelbar am Rande eines Mißverständnisses. Denn so kann es scheinen, als redeten wir in der Logik von einer idealen Sprache. Als wäre unsre Logik eine Logik, gleichsam, für den luftleeren Raum. – Während die Logik doch nicht von der Sprache – bzw. vom Denken – handelt in dem Sinne, wie eine Naturwissenschaft von einer Naturerscheinung, und man höchstens sagen kann, wir konstruierten ideale Sprachen. Aber hier wäre das Wort »ideal« irreführend, denn das klingt, als wären diese Sprachen besser, vollkommener, als unsere Umgangssprache; und als brauchte es den Logiker, damit er den Menschen endlich zeigt, wie ein richtiger Satz ausschaut.

All das kann aber erst dann im rechten Licht erscheinen, wenn man über die Begriffe des Verstehens, Meinens und Denkens größere Klarheit gewonnen hat. Denn dann wird es auch klar werden, was uns dazu verleiten kann (und mich verleitet hat) zu denken, daß, wer einen Satz ausspricht und ihn meint, oder versteht, damit einen Kalkül betreibt nach bestimmten Regeln.”[8]

Dennoch war nicht zu leugnen, daß das Vertrauen in die Umgangssprache – von logischer Seite – inzwischen längst zu erschüttert war, um sich – außer vielleicht im Alltag – noch mit Unvoreingenommenheit auf Sprache zu verlassen. Denn es waren schließlich oft genug umgangssprachlich ausgedrückte Irrtümer gewesen, in denen das philosophische Denken befangen war; und Wittgenstein selbst hatte daran mitgewirkt, die Ansprüche an Sprache zu überdenken. Warum sollte sich das Denken in einer formalen Sprache nicht ebenso zu Hause fühlen, wie im weniger engen, aber auch weniger zuverlässigen Gehäuse der natürlichen Sprache, die wohl auch weniger ‚natürlich’ ist, als es den Anschein hat? Rousseau hat seine Warnung nicht umsonst ausgesprochen.

In der Natur, in der Logik, in der Erkenntnis, in der Handlung, in der Sprache, in der Technik, überall scheint sich das Denken selbst zu begegnen. Doch als Denken drückt es sich nun mal in Sprache aus. Welche Sprache das ist, vielleicht eine innere, vermutlich die gesprochene, oder eben eine logische, die es noch zu formulieren gilt, steht dahin. Frege stellt sich dieser Frage, und wird Sprache als Ausdruck des Denkens zu fassen versuchen, indem er ihr eine logische Form verleiht, die von der grammatischen erheblich abweicht. Vielleicht gibt es kein Denken jenseits jeder Sprache, aber eignet sich jede Sprache gleichermaßen zum Denken? Freges Antwort ist nein, und es ist die Antwort seitens der formalen Logik geblieben, welche er mit seiner ‚begriffsschriftlichen’ Symbolsprache auf den richtigen Weg brachte.

Gegen Ende seines – post festum verfaßten – Aufsatzes[9] „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, in dem die Voraussetzungen und die Zielsetzung (s)einer Begriffsschrift dargelegt werden, schreibt Frege:

„Man macht sich leicht unnöthige Sorgen über die Ausführbarkeit der Sache. Unmöglich, sagt man, kann durch eine Begriffsschrift die Wissenschaft gefördert werden; denn die Erfindung der Ersteren setzt die Vollendung der Letzteren schon voraus. Ganz dieselbe Scheinschwierigkeit erhebt sich schon bei der Sprache. Diese soll die Entwicklung der Vernunft möglich gemacht haben; aber wie konnte der Mensch die Sprache schaffen, ohne Vernunft?”[10]

Weshalb Frege hier keine Schwierigkeit erblickt, und wie sich die wechselseitige Bedingtheit von Denken und Sprache aus seiner Sicht ausnimmt, wird deutlich, wenn er fortfährt:

„Zur Erforschung der Naturgesetze dienen die physikalischen Apparate; diese können nur durch eine fortgeschrittene Technik hervorgebracht werden, welche wieder auf der Kenntniß der Naturgesetze fußt. Der Kreis löst sich in allen Fällen auf dieselbe Weise. Ein Fortschritt in der Physik hat einen solchen in der Technik zur Folge, und dieser macht es möglich neue Apparate zu bauen, mittels deren wieder die Physik gefördert wird. Die Anwendung auf unsern Fall ergiebt sich von selbst.”[11]

Allerdings ist fraglich, wie weit die Analogie trägt, die Frege andeutet, indem er das zweifellos enge Verhältnis zwischen Physik und Technik im Verlauf des theoretischen und praktischen Fortschritts auf beiden Gebieten mit der ebenfalls engen Beziehung zwischen Denken und Sprache in Verbindung bringt. Außer Frage steht, daß sich eine theoretische Disziplin wie die Physik unter anderem auch anhand praktischer Anwendungsprobleme in der Technik weiterentwickelt – und umgekehrt. Ihre gemeinsame Entwicklung findet durch die gegenseitige Beeinflussung während der (erfolgreichen oder erfolglosen) Konstruktion von physikalisch-technischen Apparaturen statt. Doch worin besteht die Parallele dazu, welche gemäß Freges Andeutung das Denken an die Sprache koppelt? Wie hilft sich das Denken mit der Sprache weiter, und wo wird es in der Sprache überprüft, wenn es allein nicht weiterkommt? Und wodurch wird – umgekehrt – die Sprache zum Konstrukteur oder Lieferanten immer neuer, bislang unbekannter Mittel des Denkens? Im Zuge des physikalisch-technischen Fortschritts erfolgt die Umsetzung zwischen physikalischer Theorie und technischer Realisation in beiden Richtungen, schrittweise, doch worin bestehen die Schritte, mit denen das vernünftige Denken und die verwendete Sprache gemeinsam vorankommen? So gesehen, führt die Analogisierung von Vernunft und Sprache mit Physik und Technik, die Frege vornimmt, zur Frage des Fortschritts auf gedanklich-sprachlichem Gebiet. Will Frege die Antwort darauf nicht schuldig bleiben, ist eine Sprachentwicklung und zugleich eine Denkentwicklung namhaft zu machen, bei welcher beide wechselseitig miteinander gekoppelt sind. Auf den gemeinsamen ‚Ursprung’ aller Sprache und allen Denkens zurückzuverweisen, von dem aus sich beides zusammen fortentwickelt hat, nachdem es einmal entstanden ist, wäre vielleicht überzeugend, wenn nicht jener ursprüngliche Anfang jenseits des Faßbaren läge. Frege verweist denn auch auf eine andere, weit jüngere Entwicklungslinie, nämlich die der mathematischen Formelsprache, eine reine Schriftsprache übrigens. („Die arithmetische Formelsprache ist eine Begriffsschrift, da sie ohne Vermittlung des Lautes unmittelbar die Sache ausdrückt.”[12]) Allerdings bleibt dabei die logische Seite gegenüber der mathematischen Seite unterbelichtet, da die logischen Abhängigkeitsverhältnisse nicht ebenfalls in Formeln wiedergegeben werden, sondern unausdrücklich hinzugedacht oder aber verbalsprachlich hinzugefügt werden. („Es fehlen […] der arithmetischen Formelsprache Ausdrücke für logische Verknüpfungen; und deshalb verdient sie den Namen einer Begriffsschrift nicht im vollen Sinne.”[13])

Daß sich die großen Fortschritte in der Mathematik schwerlich ohne die Formalisierung ihrer Sprache hätten erzielen lassen, ohne die die antiken und mittelalterlichen Formulierungen mathematischer Sätze in normaler Sprache so unbeholfen, unübersichtlich und zudem ungenau wirken, bestätigt unmittelbar, welch unverzichtbaren Beitrag die mathematische Schreibweise zur mathematischen Denkweise leistet. Die algebraische Notation zur Darstellung arithmetischer Zusammenhänge ist der umgangssprachlichen Wiedergabe weitaus überlegen, und regelrechte Rechnungen lassen sich innerhalb der Umgangssprache so gut wie gar nicht ausführen.

Mittels manipulativer Umformungen von sprachlichen Zeichen konzeptuelle Abhängigkeiten zwischen geistigen Vorstellungen ‚aufzuzeigen’ und ‚einzusehen’, gelingt in der Mathematik eben deshalb auf beispiellose Weise, weil deren Symbolik an die entsprechenden Konzepte eigens angepaßt wurde. Außerhalb dieser Wissenschaft ist es nicht so, doch auch dort sind Gedanken auf Sprache angewiesen, meint Frege. („Denn der sinnlichen Zeichen bedürfen wir nun einmal zum Denken.”[14]) Verbessert wurde die Anpassung zwischen dem Denken und dem sprachlichen Ausdruck von Gedanken, indem aus der Mathematik stammende Sprachformen übernommen, abgewandelt, um logische Formen erweitert und auf andere Gebiete ausgeweitet wurden. Mit den bisherigen Entwürfen einer logischen Symbolik, namentlich die an Leibniz anknüpfenden Ansätze von Boole, Graßmann, Jevons und Schröder erwähnt Frege,[15] gibt er sich nicht zufrieden. („Hier hat man zwar die logischen Formen obwohl nicht ganz vollständig; es fehlt aber der Inhalt.”[16]) Stattdessen sucht Frege andere symbolische Formen, um logische Beziehungen zwischen ihrerseits formalisierten Inhalten auszudrücken. („Diese Formen müssen geeignet seyn, sich mit einem Inhalte auf das Innigste zu verbinden.”[17])

Wenn dabei eine schriftliche Sprache vor einer gesprochenen den Vorzug verdient, so deshalb, weil sie zu unvergleichlicher Präsenz und Prägnanz im Ausdruck verhilft, sofern sie nur richtig aufgebaut ist und geschickt eingesetzt wird.

„Die Schrift bietet die Möglichkeit Vieles gleichzeitig gegenwärtig zu halten, und wenn wir auch nur einen kleinen Theil davon in jedem Augenblicke in’s Auge fassen können, so behalten wir doch einen allgemeinen Eindruck auch vom Uebrigen, und dieses steht, wann wir es brauchen, sofort zu unserer Verfügung. Die Lagenverhältnisse der Schriftzeichen auf der zweifach ausgedehnten Schreibfläche können in weit mannichfacherer Weise zum Ausdrucke innerer Beziehungen verwendet werden als das bloße Folgen und Vorhergehen in der einfach ausgedehnten Zeit, und dies erleichtert die Auffindung dessen, worauf wir unsere Aufmerksamkeit gerade richten wollen.”[18]

Frege wählt eine logische Symbolik, bei der, wie er sagt, „die zweifache Ausdehnung der Schreibfläche für die Uebersichtlichkeit der Darstellung gut ausgenutzt werden kann”[19], und stößt damit weithin auf Unverständnis und Ablehnung, weil das äußere Erscheinungsbild der zweidimensionalen Notation so wenig vertraut aussieht, daß es die logischen Zusammenhänge eher zu verschleiern als aufzudecken scheint. Weshalb Freges Begriffsschrift ironischerweise nur ihrem konzeptuellen Gehalt nach, nicht jedoch ihrer symbolischen Form nach in die formale Logik eingehen sollte. Es blieb bei einer algebraischen Formelschreibweise, deren weitgehende Linearität nach wie vor an die verbale Sprache erinnert.

Trotzdem bestätigte sich anhand von Freges Begriffsschrift einmal mehr, welch enorme Fortschritte erzielbar sind, wenn das mathematisch-logische Denken und dessen Ausdruck mittels einer darauf zugeschnittenen Schreibweise immer besser aufeinander abgestimmt werden. Frege selbst zielte damit zwar in erster Linie auf die speziellen Anforderungen in der Mathematik ab, beabsichtigte aber nicht zuletzt, eine ausdrucksstarke formale Schrift zu entwickeln, die universell genug ist, um auch für andere Zwecke, wie etwa philosophische Überlegungen logischer Art eingesetzt zu werden. Er habe „die mathematische Formelsprache durch Zeichen für die logischen Verhältnisse zu ergänzen [versucht], so daß daraus zunächst für das Gebiet der Mathematik eine Begriffsschrift hervorgehe”[20], sagt Frege, wobei jedoch die Verwendung seiner „Zeichen auf andern Gebieten […] dadurch nicht ausgeschlossen”[21] werde, wie er hinzufügt. Im Gegenteil:

„Die logischen Verhältnisse kehren überall wieder, und die Zeichen für die besondern Inhalte können so gewählt werden, daß sie sich in den Rahmen der Begriffsschrift einfügen. Mag dies nun geschehen oder nicht, jedenfalls hat eine anschauliche Darstellung der Denkformen eine über die Mathematik hinausreichende Bedeutung. Möchten deshalb auch Philosophen der Sache einige Beachtung schenken!”[22]

Zweifellos erzielte Frege einen ganz entscheidenden Durchbruch, indem er eine unmittelbare Kopplung zwischen logischem Denken und formalsprachlicher Ausdrucksweise ermöglichte, die die Symbolik und die Methodik der formalen Logik insgesamt erheblich verbesserte, was zunächst nicht nur von philosophischer, sondern auch von mathematischer Seite verkannt wurde, längerfristig aber zur Reformulierung und Präzisierung von mathematischen und auch von philosophischen Fragestellungen beitrug, die jetzt formallogischen Mitteln zugänglich wurden, welche es zuvor noch nicht gab.

Das logische Denken bedient sich der formalen Symbolik und des formalen Kalküls, und beides ist in einer eigenen Sprache formalisiert. Gleichwohl sind Gedanken etwas anderes als deren Symbole, und gedankliche Übergänge folgen nicht unbedingt denselben Mustern wie kalkulatorische Berechnungen. Gerade die Symbolisierung und die Kalkulation in der formalen Logik macht die Nähe wie auch die Verschiedenheit des Denkens und der Sprache deutlich, in der es ausgedrückt wird. (Würde man ohnehin so denken, wie man es formalsprachlich niederschreibt, bräuchte man bei logischen Fragestellungen weder effiziente kalkulatorische Verfahren zu befolgen, um weiterzukommen, noch explizit aufgestellte Regeln einzuhalten, um dabei fehlerlos vorzugehen.)

Das tiefe Mißtrauen, das nicht nur Frege der Sprache gegenüber hegt, vor allem, wenn es um logische und um ontologische Probleme geht, rührt daher, daß das Denken von der Sprache oder deren Grammatik nicht selten im Stich gelassen wird, wenn es sich daran klammert. Deshalb sei eine begrifflich zuverlässigere Sprache, an die sich das Denken unter allen Umständen halten kann, eben anders aufzubauen, als es die gewöhnliche Sprache vorgibt. Weil sich die Haltlosigkeit gewöhnlicher Sprache am fatalsten auswirkt, wenn sie logisch-ontologisch überbeansprucht wird, ohne daß man es merkt, ist eine verläßliche Alternative vonnöten. Nur die Logik gibt eine Handhabe zur Konstruktion einer formalen Sprache, die ihre Tragweite und Tragfähigkeit gerade in kritischen Fällen unter Beweis zu stellen hat, ohne die Umgangssprache im Alltag ablösen zu wollen.


[1] Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, Vorwort, p.9

[2] Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, Vorwort, p.9

[3] cf. Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, Vorwort, p.9

[4] Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, 5.6, p.67

[5] Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, 5.61, p.67

[6] „Die unsägliche Verschiedenheit aller der tagtäglichen Sprachspiele kommt uns nicht zum Bewußtsein, weil die Kleider unserer Sprache alles gleichmachen.” [Wittgenstein, Philosophische Untersuchungen, p.570]

[7] „Wir erkennen, daß, was wir »Satz«, »Sprache«, nennen, nicht die formelle Einheit ist, die ich mir vorstellte, sondern die Familie mehr oder weniger miteinander verwandter Gebilde. – Was aber wird nun aus der Logik? Ihre Strenge scheint hier aus dem Leim zu gehen. – Verschwindet sie damit aber nicht ganz? -” [Wittgenstein, Philosophische Untersuchungen, §108, p.298]

[8] Wittgenstein, Philosophische Untersuchungen, §81, p.286

[9] Freges Begriffsschrift lag längst fertig vor, als Jahre später jener nachträgliche Aufsatz über deren ‚wissenschaftliche Berechtigung’ verfaßt wurde. Die Anerkennung blieb der epochalen Leistung zunächst versagt, zumal seitens universitärer Kreise in Jena die Begriffsschrift als ein untergeordnetes Nebenprodukt der ohnehin untergeordneten Tätigkeit eines gewissen Frege, der dort lehrte, nicht ernst genug genommen wurde, bis sich andere bedeutende Logiker der Sache mit Verständnis annahmen, und ein Ruhmesblatt der Universität Jenas daraus machten, da seither der Beginn der modernen Logik auf das Erscheinungsjahr jener Schrift Freges datiert wird – auf 1879 also.

[10] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.113

[11] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.113

[12] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.112

[13] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.112

[14] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.106

[15] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.112

[16] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.112

[17] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.113

[18] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.111

[19] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.113

[20] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.113

[21] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.114

[22] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.114

(Copyright by Peter Gold)