online/offline

Meine Vorlesung zum Thema “Formale Logik im Rahmen des Jeffrey/Boolos-Kalküls” im Wintersemester 2021/2022 findet durchgängig online statt und wird während dieses Semesters nicht in den offline-Modus wechseln. Die entsprechenden Zugangsdaten sind in OLAT (Goethe-Universität) einsehbar. Meine Physik-Vorlesung findet, nach drei Semestern online, im Wintersemester 2021/2022 wieder offline im Physik-Hörsaal (Frankfurt University of Applied Sciences) statt. Sollte sich daran etwas ändern, wird es im begleitenden Moodle-Kurs kurzfristig mitgeteilt.

Aufriß des Lambda-Kalküls (in Lisp-Notation)

Der Lambda-Kalkül als formallogische Abstraktion dessen, was Algorithmen sind, was sie leisten, wozu sie fähig sind und wozu nicht, bedient sich einer suggestiven Notation, die anders als die ebenso abstrakte Modellbildung durch die Turing-Maschine(n) alle algorithmischen Abläufe mathematisch-symbolisch (re‑)konstruiert, statt codierte Programme auf einer virtuellen Maschine (quasi‑)prozedural zu implementieren. Im Lambda-Kalkül wird der mathematische Kern von Algorithmen in die formale Symbolik selbst ‘eingelagert’ oder ‘eingebaut’, bei der Turing-Maschine wird der mathematische Sinn von Algorithmen in einen separaten Code ‘übertragen’ oder ‘übersetzt’. Es erinnert in gewisser Weise an die subtile, letztlich illusorische Differenz, wie sie zwischen einem Interpreter und einem Compiler entsteht, obwohl in beiden Fällen mit einer durchformalisierten Sprache gearbeitet wird, um ein ausführbares Programm zu schreiben. Die Modellierung abstrakter Strukturen durch den Lambda-Kalkül einerseits und durch die Turing-Maschine(n) andererseits erweckt den Eindruck, als sei, um es scholastisch auszudrücken, zwischen intentio recta und intentio obliqua zu unterscheiden. Wie gesagt, es handelt sich um eine Illusion, die allerdings alles andere als abwegig ist.

Wird von der üblichen Punkt-Notation des Lambda-Kalküls abgewichen, um sich den symbolischen Kalkül in Lisp-Notation anzusehen, hat das seinen eigenen Reiz, weil sich das funktionale/prozedurale Konzept in aller Unmittelbarkeit abzeichnet, wenn man mit Lisp oder Scheme vertraut ist. Daß sich die Lisp-Notation anbietet, um den Lambda-Kalkül, wie er von Alonzo Church konzipiert wurde, im Aufriß darzustellen, liegt daran, daß die Symbolik von Lisp (oder Scheme) eben daher stammt (mutatis mutandis). Es ergibt sich folgendes Bild:

Terme, Applikation und λ‑Abstraktion

• Terme sind Variable wie a, b, c, … x, y, z, …, die als elementare Terme gelten, sowie
• komplexe Terme der Gestalt (P Q) oder (λ (v) Q), wobei P und Q (irgendwelche) Terme sind, und v (irgend‑) eine Variable ist.
• Ein Term der Gestalt (P Q) heißt Applikation (des Operators P auf den Operanden Q).
• Und ein Term der Gestalt (λ (v) Q) heißt λ‑Abstraktion (oder einfach Abstraktion); wobei λ ein reserviertes Symbol des danach benannten Lambda-Kalküls ist.

Formeln

Als Formel gelten

• Reduktion P → Q
• Äquivalenz P = Q

wobei P und Q Terme sind.

Klammern (syntactic sugar)

• Bei einer geschachtelten Applikation kann eine linksassoziative Klammerung unterdrückt und ein Term der Gestalt ((P Q) R) als (P Q R) geschrieben werden.
• Eine geschachtelte Abstraktion der Gestalt (λ (u) (λ (v) Q)) kann abgekürzt durch den Ausdruck (λ (u v) Q) wiedergegeben werden, und entsprechend zu verstehen sind Ausdrücke wie (λ (u v w) Q), (λ (u v w x) Q) etc.

Freie vs. gebundene Variable

Eine Variable v, die im Term Q vorkommt, wird (darin) frei genannt, falls sie nicht im Geltungsbereich einer λ‑Abstraktion (λ (v) …) liegt, die einen (Sub‑) Term von Q bildet; andernfalls wird jene Variable als gebunden bezeichnet.

Umbenennung

Die Notation {y/x}Q steht für das Resultat einer (durchgängigen) Umbenennung der Variablen x in y innerhalb des Terms Q, egal ob sie darin frei oder gebunden vorkommt. Tritt die umzubenennende Variable im Term überhaupt nicht auf, bleibt er unverändert.

Substitution

Die Notation [P/x]Q repräsentiert das Resultat, das sich ergibt, wenn innerhalb des Terms Q die Variable x durch den Term P substituiert wird, und zwar überall wo sie darin frei vorkommt. Dabei dürfen allerdings keine freien Variablen des Terms P gebunden werden; zuvor sind deshalb im Term Q jene darin gebunden vorkommenden Variablen gleichen Namens auf geeignete Weise umzubenennen.

Axiome

1. Q → Q
2. Transitivität der Reduktion: mit P → Q und Q → R gilt P → R
3. Mit P → Q gilt (R P) → (R Q)
4. Mit P → Q gilt (P R) → (Q R)
5. Mit P → Q gilt (λ (v) P) → (λ (v) Q)
6. Reduktion bewahrt Semantik: mit P → Q gilt P = Q
7. Kommutativität der Äquivalenz: mit P = Q gilt Q = P
8. Transitivität der Äquivalenz: mit P = Q und Q = R gilt P = R
9. Beta-Reduktion: ((λ (u) Q) v) → [v/u]Q
10. Eta-Reduktion: (λ (v) (Q v)) → Q, falls v in Q nicht frei vorkommt

Kalkulation als Reduktion

Unter einer Kalkulation ist eine Sequenz von Termen zu verstehen, die jeweils durch Reduktion auseinander hervorgehen, also etwa P → Q → R → S → T; wobei sich, abgesehen vom Term am Anfang, jeder weitere Term jener Sequenz reduktiv aus dem unmittelbar vorher­gehenden ergibt. Der vorangehende Term bei einer Reduktion wird Redex genannt, und der nachfolgende wird dann als Redukt bezeichnet.

Term vs. Form

Ein Term heißt Form, falls keine freien Variablen darin vorkommen.

Normalform

Ein Term ist in Normalform, falls er keine (Sub‑) Terme der Gestalt ((λ (v) P) Q) oder (λ (v) (Q v)) enthält. Und daß ein Term eine Normalform hat, heißt: Es gibt eine Kalkulation, die, ausgehend von jenem Term, mit einem Term in Normalform endet.

Church/Rosser-Theorem

Wenn P = Q für zwei Terme P und Q gilt, dann existiert ein Term R, so daß P → R und Q → R gilt.

Korollar:

Wenn ein Term eine Normalform hat, so ist diese eindeutig.

Wert

Die Normalform eines Terms ist als sein Wert zu betrachten. Daher ist, falls der Term überhaupt eine Normalform hat, sein Wert durch Kalkula­tion zu finden. Und jene Kalkulation bricht ab oder terminiert, sobald eine Normalform erreicht ist. Dagegen gibt es bei einem Term ohne Normal­form keine terminierende Kalkulation.

Term ohne Normalform

Wegen

((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v)))

→ ((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v)))

hat der Term ((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v))) keine Normalform.

Fundamentale Definitionen

Identität

id := (λ (u) u)

Wahrheitswerte

true := (λ (u v) u)

false := (λ (u v) v)

Logik-Operatoren

not := (λ (u) (u false true))

and := (λ (u v) (u (v true false) false))

or := (λ (u v) (u true (v true false)))

Listen-Operatoren

car := (λ (v) (v true))

cdr := (λ (v) (v false))

cons := (λ (u v w) (w u v))

Natürliche Zahlen

0 := id

n‘ := (cons n true)

Zählen mit Successor,  Predecessor,  Zero-Prädikator

succ := (λ (v) (cons v true))

pred := car

zerop := (λ (v) ((cdr v) false true))

Dotted-Pair

(P . Q) := (λ (w) (w P Q))

Fixpunkt‑Theorem

Zu jedem Term F existiert ein Term X, Fixpunkt von F genannt, so daß (F X) = X gilt.

Fixpunkt‑Konstruktion

X = ((λ (v) (F (v v))) (λ (v) (F (v v))))

Fixpunkt‑Operator

fxpt := (λ (f v) (f (v v))) (λ (v) (f (v v)))

Exemplarische Kalkulationen

(true id) = false

(true id)

→ ((λ (u v) u) id)

→ (λ (v) id)

→ (λ (v) (λ (w) w))

→ (λ (v w) w)

→ false

(true P Q) = P

(true P Q)

→ ((λ (u v) u) P Q)

→ P

(false P Q) = Q

(false P Q)

→ ((λ (u v) v) P Q)

→ Q

(not true) = false

(not true)

→ ((λ (w) (w false true)) true)

→ (true false true)

→ false

(not false) = true

 (not false)

→ ((λ (w) (w false true)) false)

→ (false false true)

→ true                                                                                                                                                                                (

(not (not true)) = true

(not (not true))

→ (not false)

→ true

(not (not false)) = false

(not (not false))

→ (not true)

→ false

(not not) = (λ (u v w) v)

(not not)

→ (λ (w) (w false true)) (λ (u) (u false true))

→ ((λ (u) (u false true)) false true)

→ ((false false true) true)

→ (true true)

→ ((λ (x u) x) (λ (v w) v))

→ (λ (u) (λ (v w) v))

→ (λ (u v w) v)

(not not true) = true

(not not true)

→ ((λ (u v w) v) true)

→ (λ (v w) v)

→ true

[!]    (not not false) = true

(not not false)

→ ((λ (u v w) v) false)

→ (λ (v w) v)

→ true

Extensionalität

Seien f und g Funktionen (im mathematisch üblichen Sinne). Wenn f(x) = g(x) für alle x gilt, dann ist f = g.

Beweis (mittels Eta-Reduktion):

Angenommen (P x) = (Q x) gilt für einen Term x, der nicht als freie Variable in den Termen P und Q vorkommt, dann gibt es einen Term T, so daß:

(P x) → T und (Q x) → T

Also:

(λ (x) (P x)) → (λ (x) T)

(λ (x) (Q x)) → (λ (x) T)

(λ (x) (P x)) = (λ (x) T)

(λ (x) (Q x)) = (λ (x) T)

(λ (x) (P x)) = (λ (x) (Q x))

(λ (x) (P x)) → P

(λ (x) (Q x)) → Q

(λ (x) (P x)) = P

(λ (x) (Q x)) = Q

P = Q

Blockseminar zur Logik

Mein Blockseminar zur Logik im Institut für Philosophie der Universität Frankfurt findet von Montag bis Freitag ganztägig ab 09:00 Uhr, beginnend am 13.02.12, am Campus Westend statt. Die abschließende Klausur ist für den darauffolgenden Montag 20.02.12 angesetzt. Zur Teilnahme am Seminar ist keine Voranmeldung nötig. Der Raum wird kurzfristig im Aushang des Instituts bekanntgegeben.

Literatur: Richard C. Jeffrey (& George Boolos),  Formal Logic. Its Scope and Limits, 3rd Edition, New York, Cambridge 1990/2004, oder 4th Edition (by John P. Burgess) 2006.

Proseminar zur Formalen Logik

Mein Proseminar zur Formalen Logik findet in der Woche vom 21.02.11 – 25.02.11 täglich von 09:00 – 18:00 Uhr in Raum IG 0.457 am Campus Westend der Universität Frankfurt statt. Es ist keine Voranmeldung erforderlich. Die Klausur wird voraussichtlich am 28.02.11 um 17:00 Uhr geschrieben. Empfohlene Literatur: Richard C. Jeffrey (& George Boolos),  Formal Logic. Its Scope and Limits, 3rd Edition, New York, Cambridge 1990/2004, oder 4th Edition (by John P. Burgess) 2006.

Proseminar: »Logik«

Mein Proseminar zur »Logik« im Sommersemester 2010 findet als Blockveranstaltung vom 15.03.10 – 19.03.10 von 09:00 – 18:00 Uhr in Raum IG 0.454 am Campus Westend der Universität Frankfurt statt.

Kausalität laut Aristoteles’ Physik

Bedenkt man, daß aitia neben ‘Ursache’, ‘Grund’ oder ‘Anlaß’ auch ‘Schuld’ bedeutet (aitios = schuldig, schuld, verantwortlich; der Schuldige, Urheber, Täter), so zielt die Frage nach Kausalität darauf ab, zu erfahren, was an etwas ‘schuld’ ist.

Um die von Aristoteles unterschiedenen ‘Ursachen’, nach denen gefragt werden kann, zu typisieren, ohne sie zu verdinglichen, ist es am besten, die Frage so neutral wie möglich zu formulieren:

Was (alles) ist schuld daran, daß etwas (ein Ding) das ist, was es ist, und daß es so ist, wie es ist?

Wird nach diesem Schema gefragt, wobei das Wort ‘Ursache’ nicht unabsichtlich vermieden wird, werden die Antworten unter vier verschiedenen Aspekten erfolgen, je nachdem, worauf Bezug genommen wird:

1. causa materialis: das Material, aus dem etwas besteht (woraus ist das Ding gemacht?)
2. causa formalis: die Form, die etwas aufweist (wie ist das Ding geformt?)
3. causa efficiens: die Weise, wie etwas entstanden ist (wie ist das Ding zu diesem Ding geworden?)
4. causa finalis: der Zweck, den etwas erfüllt (wozu ist das Ding gedacht?)

Statt nach einem ‘Ding’ oder einem ‘Gegenstand’ kann auch nach einer ‘Sache’ gefragt werden, oder neutraler nach einer Entität, nach irgendetwas. Eine ‘Ursache’ ist nun nicht ihrerseits eine ‘Sache’ oder ein ‘Ding’ im selben Sinne, sondern sie ist auch nur – irgendetwas.

(Copyright by Peter Gold)

Seminar: »Formale Logik«

Mein Seminar zur Einführung in die »Formale Logik« im Sommersemester 2009 findet vom 16.03.09 bis 20.03.09 um 09:00-18:00 Uhr am Campus Westend im Hörsaal IG 457 der Universität Frankfurt statt. Behandelt wird die Junktoren- und Quantoren-Logik. Es ist keine Voranmeldung zur Teilnahme an der Lehrveranstaltung erforderlich. Den Abschluß des Blockseminars bildet eine Klausur, die voraussichtlich nachmittags am 23.03.09 geschrieben wird.

Denken vs. Sprechen

Sprache als etwas, das dem Denken gleichgültig und selbstgenügsam gegenübersteht, ohne darauf angewiesen zu sein, daß in ihr oder mit ihr gedacht wird, um wirklich Sprache zu sein und nicht ins bloße Geschrei zurückzufallen, läßt sich nicht denken. Wenn es kein Denken jenseits von Sprache gibt, so heißt das nicht, daß es Sprache jenseits des Denkens gäbe. Bei der Rückbesinnung auf die Sprachlichkeit allen Denkens ist das nicht zu vergessen.

Wittgenstein hat im Tractatus logico-philosophicus den Gedanken der unmittelbaren Sprachgebundenheit des Denkens zu Ende zu denken versucht. Es sollte eine philosophische, zudem eine endgültige, unumstößliche Antwort auf die Frage gegeben werden, wie die Verschränkung von Logik und Ontologie überhaupt zu denken sei. Zugleich sollte allem sinnvollen Denken eine Grenze gezogen werden. Eine Grenze des Denkbaren könne als solche „nur in der Sprache gezogen werden”[1], sagt Wittgenstein, „und was jenseits der Grenze liegt, wird einfach Unsinn sein”.[2] Die Sprache zirkelt ab, was sich sagen läßt, und schränkt den Kreis dessen ein, was sinnvoll denkbar ist, wobei als Sprache nur eine logisch durchgeformte Sprache, wie sie Frege und Russell im Auge hatten,[3] in Frage kommt.

„Die Grenzen meiner Sprache bedeuten die Grenzen meiner Welt.”[4]

„Die Logik erfüllt die Welt; die Grenzen der Welt sind auch ihre Grenzen.”[5]

Die später erfolgende Abkehr Wittgensteins von den im Tractatus verfolgten Absichten ging einher mit einer Abwendung von formalsprachlichen Systemen und der Hinwendung zu umgangssprachlichen Formen, oder zu ‚Sprachspielen’,[6] die sich den strengen Formalismen der Logik nicht unterordneten. Und auch die Logik selbst wurde zu einem, jetzt weit weniger verbindlichen Spiel.[7] In seinen Philosophische(n) Untersuchungen ist Wittgenstein immer wieder darauf zurückgekommen:

„F.P. Ramsey hat einmal im Gespräch mit mir betont, die Logik sei eine ‚normative Wissenschaft’. Genau welche Idee ihm dabei vorschwebte, weiß ich nicht; sie war aber zweifellos eng verwandt mit der, die mir erst später aufgegangen ist: daß wir nämlich in der Philosophie den Gebrauch der Wörter oft mit Spielen, Kalkülen nach festen Regeln, vergleichen, aber nicht sagen können, wer die Sprache gebraucht, müsse ein solches Spiel spielen. – Sagt man nun aber, daß unser sprachlicher Ausdruck sich solchen Kalkülen nur nähert, so steht man damit unmittelbar am Rande eines Mißverständnisses. Denn so kann es scheinen, als redeten wir in der Logik von einer idealen Sprache. Als wäre unsre Logik eine Logik, gleichsam, für den luftleeren Raum. – Während die Logik doch nicht von der Sprache – bzw. vom Denken – handelt in dem Sinne, wie eine Naturwissenschaft von einer Naturerscheinung, und man höchstens sagen kann, wir konstruierten ideale Sprachen. Aber hier wäre das Wort »ideal« irreführend, denn das klingt, als wären diese Sprachen besser, vollkommener, als unsere Umgangssprache; und als brauchte es den Logiker, damit er den Menschen endlich zeigt, wie ein richtiger Satz ausschaut.

All das kann aber erst dann im rechten Licht erscheinen, wenn man über die Begriffe des Verstehens, Meinens und Denkens größere Klarheit gewonnen hat. Denn dann wird es auch klar werden, was uns dazu verleiten kann (und mich verleitet hat) zu denken, daß, wer einen Satz ausspricht und ihn meint, oder versteht, damit einen Kalkül betreibt nach bestimmten Regeln.”[8]

Dennoch war nicht zu leugnen, daß das Vertrauen in die Umgangssprache – von logischer Seite – inzwischen längst zu erschüttert war, um sich – außer vielleicht im Alltag – noch mit Unvoreingenommenheit auf Sprache zu verlassen. Denn es waren schließlich oft genug umgangssprachlich ausgedrückte Irrtümer gewesen, in denen das philosophische Denken befangen war; und Wittgenstein selbst hatte daran mitgewirkt, die Ansprüche an Sprache zu überdenken. Warum sollte sich das Denken in einer formalen Sprache nicht ebenso zu Hause fühlen, wie im weniger engen, aber auch weniger zuverlässigen Gehäuse der natürlichen Sprache, die wohl auch weniger ‚natürlich’ ist, als es den Anschein hat? Rousseau hat seine Warnung nicht umsonst ausgesprochen.

In der Natur, in der Logik, in der Erkenntnis, in der Handlung, in der Sprache, in der Technik, überall scheint sich das Denken selbst zu begegnen. Doch als Denken drückt es sich nun mal in Sprache aus. Welche Sprache das ist, vielleicht eine innere, vermutlich die gesprochene, oder eben eine logische, die es noch zu formulieren gilt, steht dahin. Frege stellt sich dieser Frage, und wird Sprache als Ausdruck des Denkens zu fassen versuchen, indem er ihr eine logische Form verleiht, die von der grammatischen erheblich abweicht. Vielleicht gibt es kein Denken jenseits jeder Sprache, aber eignet sich jede Sprache gleichermaßen zum Denken? Freges Antwort ist nein, und es ist die Antwort seitens der formalen Logik geblieben, welche er mit seiner ‚begriffsschriftlichen’ Symbolsprache auf den richtigen Weg brachte.

Gegen Ende seines – post festum verfaßten – Aufsatzes[9] „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, in dem die Voraussetzungen und die Zielsetzung (s)einer Begriffsschrift dargelegt werden, schreibt Frege:

„Man macht sich leicht unnöthige Sorgen über die Ausführbarkeit der Sache. Unmöglich, sagt man, kann durch eine Begriffsschrift die Wissenschaft gefördert werden; denn die Erfindung der Ersteren setzt die Vollendung der Letzteren schon voraus. Ganz dieselbe Scheinschwierigkeit erhebt sich schon bei der Sprache. Diese soll die Entwicklung der Vernunft möglich gemacht haben; aber wie konnte der Mensch die Sprache schaffen, ohne Vernunft?”[10]

Weshalb Frege hier keine Schwierigkeit erblickt, und wie sich die wechselseitige Bedingtheit von Denken und Sprache aus seiner Sicht ausnimmt, wird deutlich, wenn er fortfährt:

„Zur Erforschung der Naturgesetze dienen die physikalischen Apparate; diese können nur durch eine fortgeschrittene Technik hervorgebracht werden, welche wieder auf der Kenntniß der Naturgesetze fußt. Der Kreis löst sich in allen Fällen auf dieselbe Weise. Ein Fortschritt in der Physik hat einen solchen in der Technik zur Folge, und dieser macht es möglich neue Apparate zu bauen, mittels deren wieder die Physik gefördert wird. Die Anwendung auf unsern Fall ergiebt sich von selbst.”[11]

Allerdings ist fraglich, wie weit die Analogie trägt, die Frege andeutet, indem er das zweifellos enge Verhältnis zwischen Physik und Technik im Verlauf des theoretischen und praktischen Fortschritts auf beiden Gebieten mit der ebenfalls engen Beziehung zwischen Denken und Sprache in Verbindung bringt. Außer Frage steht, daß sich eine theoretische Disziplin wie die Physik unter anderem auch anhand praktischer Anwendungsprobleme in der Technik weiterentwickelt – und umgekehrt. Ihre gemeinsame Entwicklung findet durch die gegenseitige Beeinflussung während der (erfolgreichen oder erfolglosen) Konstruktion von physikalisch-technischen Apparaturen statt. Doch worin besteht die Parallele dazu, welche gemäß Freges Andeutung das Denken an die Sprache koppelt? Wie hilft sich das Denken mit der Sprache weiter, und wo wird es in der Sprache überprüft, wenn es allein nicht weiterkommt? Und wodurch wird – umgekehrt – die Sprache zum Konstrukteur oder Lieferanten immer neuer, bislang unbekannter Mittel des Denkens? Im Zuge des physikalisch-technischen Fortschritts erfolgt die Umsetzung zwischen physikalischer Theorie und technischer Realisation in beiden Richtungen, schrittweise, doch worin bestehen die Schritte, mit denen das vernünftige Denken und die verwendete Sprache gemeinsam vorankommen? So gesehen, führt die Analogisierung von Vernunft und Sprache mit Physik und Technik, die Frege vornimmt, zur Frage des Fortschritts auf gedanklich-sprachlichem Gebiet. Will Frege die Antwort darauf nicht schuldig bleiben, ist eine Sprachentwicklung und zugleich eine Denkentwicklung namhaft zu machen, bei welcher beide wechselseitig miteinander gekoppelt sind. Auf den gemeinsamen ‚Ursprung’ aller Sprache und allen Denkens zurückzuverweisen, von dem aus sich beides zusammen fortentwickelt hat, nachdem es einmal entstanden ist, wäre vielleicht überzeugend, wenn nicht jener ursprüngliche Anfang jenseits des Faßbaren läge. Frege verweist denn auch auf eine andere, weit jüngere Entwicklungslinie, nämlich die der mathematischen Formelsprache, eine reine Schriftsprache übrigens. („Die arithmetische Formelsprache ist eine Begriffsschrift, da sie ohne Vermittlung des Lautes unmittelbar die Sache ausdrückt.”[12]) Allerdings bleibt dabei die logische Seite gegenüber der mathematischen Seite unterbelichtet, da die logischen Abhängigkeitsverhältnisse nicht ebenfalls in Formeln wiedergegeben werden, sondern unausdrücklich hinzugedacht oder aber verbalsprachlich hinzugefügt werden. („Es fehlen […] der arithmetischen Formelsprache Ausdrücke für logische Verknüpfungen; und deshalb verdient sie den Namen einer Begriffsschrift nicht im vollen Sinne.”[13])

Daß sich die großen Fortschritte in der Mathematik schwerlich ohne die Formalisierung ihrer Sprache hätten erzielen lassen, ohne die die antiken und mittelalterlichen Formulierungen mathematischer Sätze in normaler Sprache so unbeholfen, unübersichtlich und zudem ungenau wirken, bestätigt unmittelbar, welch unverzichtbaren Beitrag die mathematische Schreibweise zur mathematischen Denkweise leistet. Die algebraische Notation zur Darstellung arithmetischer Zusammenhänge ist der umgangssprachlichen Wiedergabe weitaus überlegen, und regelrechte Rechnungen lassen sich innerhalb der Umgangssprache so gut wie gar nicht ausführen.

Mittels manipulativer Umformungen von sprachlichen Zeichen konzeptuelle Abhängigkeiten zwischen geistigen Vorstellungen ‚aufzuzeigen’ und ‚einzusehen’, gelingt in der Mathematik eben deshalb auf beispiellose Weise, weil deren Symbolik an die entsprechenden Konzepte eigens angepaßt wurde. Außerhalb dieser Wissenschaft ist es nicht so, doch auch dort sind Gedanken auf Sprache angewiesen, meint Frege. („Denn der sinnlichen Zeichen bedürfen wir nun einmal zum Denken.”[14]) Verbessert wurde die Anpassung zwischen dem Denken und dem sprachlichen Ausdruck von Gedanken, indem aus der Mathematik stammende Sprachformen übernommen, abgewandelt, um logische Formen erweitert und auf andere Gebiete ausgeweitet wurden. Mit den bisherigen Entwürfen einer logischen Symbolik, namentlich die an Leibniz anknüpfenden Ansätze von Boole, Graßmann, Jevons und Schröder erwähnt Frege,[15] gibt er sich nicht zufrieden. („Hier hat man zwar die logischen Formen obwohl nicht ganz vollständig; es fehlt aber der Inhalt.”[16]) Stattdessen sucht Frege andere symbolische Formen, um logische Beziehungen zwischen ihrerseits formalisierten Inhalten auszudrücken. („Diese Formen müssen geeignet seyn, sich mit einem Inhalte auf das Innigste zu verbinden.”[17])

Wenn dabei eine schriftliche Sprache vor einer gesprochenen den Vorzug verdient, so deshalb, weil sie zu unvergleichlicher Präsenz und Prägnanz im Ausdruck verhilft, sofern sie nur richtig aufgebaut ist und geschickt eingesetzt wird.

„Die Schrift bietet die Möglichkeit Vieles gleichzeitig gegenwärtig zu halten, und wenn wir auch nur einen kleinen Theil davon in jedem Augenblicke in’s Auge fassen können, so behalten wir doch einen allgemeinen Eindruck auch vom Uebrigen, und dieses steht, wann wir es brauchen, sofort zu unserer Verfügung. Die Lagenverhältnisse der Schriftzeichen auf der zweifach ausgedehnten Schreibfläche können in weit mannichfacherer Weise zum Ausdrucke innerer Beziehungen verwendet werden als das bloße Folgen und Vorhergehen in der einfach ausgedehnten Zeit, und dies erleichtert die Auffindung dessen, worauf wir unsere Aufmerksamkeit gerade richten wollen.”[18]

Frege wählt eine logische Symbolik, bei der, wie er sagt, „die zweifache Ausdehnung der Schreibfläche für die Uebersichtlichkeit der Darstellung gut ausgenutzt werden kann”[19], und stößt damit weithin auf Unverständnis und Ablehnung, weil das äußere Erscheinungsbild der zweidimensionalen Notation so wenig vertraut aussieht, daß es die logischen Zusammenhänge eher zu verschleiern als aufzudecken scheint. Weshalb Freges Begriffsschrift ironischerweise nur ihrem konzeptuellen Gehalt nach, nicht jedoch ihrer symbolischen Form nach in die formale Logik eingehen sollte. Es blieb bei einer algebraischen Formelschreibweise, deren weitgehende Linearität nach wie vor an die verbale Sprache erinnert.

Trotzdem bestätigte sich anhand von Freges Begriffsschrift einmal mehr, welch enorme Fortschritte erzielbar sind, wenn das mathematisch-logische Denken und dessen Ausdruck mittels einer darauf zugeschnittenen Schreibweise immer besser aufeinander abgestimmt werden. Frege selbst zielte damit zwar in erster Linie auf die speziellen Anforderungen in der Mathematik ab, beabsichtigte aber nicht zuletzt, eine ausdrucksstarke formale Schrift zu entwickeln, die universell genug ist, um auch für andere Zwecke, wie etwa philosophische Überlegungen logischer Art eingesetzt zu werden. Er habe „die mathematische Formelsprache durch Zeichen für die logischen Verhältnisse zu ergänzen [versucht], so daß daraus zunächst für das Gebiet der Mathematik eine Begriffsschrift hervorgehe”[20], sagt Frege, wobei jedoch die Verwendung seiner „Zeichen auf andern Gebieten […] dadurch nicht ausgeschlossen”[21] werde, wie er hinzufügt. Im Gegenteil:

„Die logischen Verhältnisse kehren überall wieder, und die Zeichen für die besondern Inhalte können so gewählt werden, daß sie sich in den Rahmen der Begriffsschrift einfügen. Mag dies nun geschehen oder nicht, jedenfalls hat eine anschauliche Darstellung der Denkformen eine über die Mathematik hinausreichende Bedeutung. Möchten deshalb auch Philosophen der Sache einige Beachtung schenken!”[22]

Zweifellos erzielte Frege einen ganz entscheidenden Durchbruch, indem er eine unmittelbare Kopplung zwischen logischem Denken und formalsprachlicher Ausdrucksweise ermöglichte, die die Symbolik und die Methodik der formalen Logik insgesamt erheblich verbesserte, was zunächst nicht nur von philosophischer, sondern auch von mathematischer Seite verkannt wurde, längerfristig aber zur Reformulierung und Präzisierung von mathematischen und auch von philosophischen Fragestellungen beitrug, die jetzt formallogischen Mitteln zugänglich wurden, welche es zuvor noch nicht gab.

Das logische Denken bedient sich der formalen Symbolik und des formalen Kalküls, und beides ist in einer eigenen Sprache formalisiert. Gleichwohl sind Gedanken etwas anderes als deren Symbole, und gedankliche Übergänge folgen nicht unbedingt denselben Mustern wie kalkulatorische Berechnungen. Gerade die Symbolisierung und die Kalkulation in der formalen Logik macht die Nähe wie auch die Verschiedenheit des Denkens und der Sprache deutlich, in der es ausgedrückt wird. (Würde man ohnehin so denken, wie man es formalsprachlich niederschreibt, bräuchte man bei logischen Fragestellungen weder effiziente kalkulatorische Verfahren zu befolgen, um weiterzukommen, noch explizit aufgestellte Regeln einzuhalten, um dabei fehlerlos vorzugehen.)

Das tiefe Mißtrauen, das nicht nur Frege der Sprache gegenüber hegt, vor allem, wenn es um logische und um ontologische Probleme geht, rührt daher, daß das Denken von der Sprache oder deren Grammatik nicht selten im Stich gelassen wird, wenn es sich daran klammert. Deshalb sei eine begrifflich zuverlässigere Sprache, an die sich das Denken unter allen Umständen halten kann, eben anders aufzubauen, als es die gewöhnliche Sprache vorgibt. Weil sich die Haltlosigkeit gewöhnlicher Sprache am fatalsten auswirkt, wenn sie logisch-ontologisch überbeansprucht wird, ohne daß man es merkt, ist eine verläßliche Alternative vonnöten. Nur die Logik gibt eine Handhabe zur Konstruktion einer formalen Sprache, die ihre Tragweite und Tragfähigkeit gerade in kritischen Fällen unter Beweis zu stellen hat, ohne die Umgangssprache im Alltag ablösen zu wollen.

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[1] Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, Vorwort, p.9

[2] Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, Vorwort, p.9

[3] cf. Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, Vorwort, p.9

[4] Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, 5.6, p.67

[5] Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, 5.61, p.67

[6] „Die unsägliche Verschiedenheit aller der tagtäglichen Sprachspiele kommt uns nicht zum Bewußtsein, weil die Kleider unserer Sprache alles gleichmachen.” [Wittgenstein, Philosophische Untersuchungen, p.570]

[7] „Wir erkennen, daß, was wir »Satz«, »Sprache«, nennen, nicht die formelle Einheit ist, die ich mir vorstellte, sondern die Familie mehr oder weniger miteinander verwandter Gebilde. – Was aber wird nun aus der Logik? Ihre Strenge scheint hier aus dem Leim zu gehen. – Verschwindet sie damit aber nicht ganz? -” [Wittgenstein, Philosophische Untersuchungen, §108, p.298]

[8] Wittgenstein, Philosophische Untersuchungen, §81, p.286

[9] Freges Begriffsschrift lag längst fertig vor, als Jahre später jener nachträgliche Aufsatz über deren ‚wissenschaftliche Berechtigung’ verfaßt wurde. Die Anerkennung blieb der epochalen Leistung zunächst versagt, zumal seitens universitärer Kreise in Jena die Begriffsschrift als ein untergeordnetes Nebenprodukt der ohnehin untergeordneten Tätigkeit eines gewissen Frege, der dort lehrte, nicht ernst genug genommen wurde, bis sich andere bedeutende Logiker der Sache mit Verständnis annahmen, und ein Ruhmesblatt der Universität Jenas daraus machten, da seither der Beginn der modernen Logik auf das Erscheinungsjahr jener Schrift Freges datiert wird – auf 1879 also.

[10] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.113

[11] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.113

[12] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.112

[13] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.112

[14] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.106

[15] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.112

[16] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.112

[17] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.113

[18] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.111

[19] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.113

[20] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.113

[21] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.114

[22] Frege, „Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift”, p.114

(Copyright by Peter Gold)

Logische Deduktion vs. Induktion

Es heißt, jemand wie Morris R. Cohen habe es einmal recht drastisch ausgedrückt: nämlich daß Lehrbücher der Logik aus zwei Teilen bestünden, einem ersten Teil über Deduktion, in dem Trugschlüsse erklärt werden, und einem zweiten Teil über Induktion, in dem sie begangen werden.

Begriffe und Beziehungen

  

Zur funktionalen Auffassung von Begriffen und Beziehungen

Begriffe sind in die Sprache eingegliedert, stehen aber zugleich in Verbindung mit außersprachlichen Gegenständen. Gerade als sprachliche Bestandteile haben Begriffe etwas an sich, das über die Sprache hinausgreift, und darin ähneln sie den Namen, die die Sprache an dasjenige knüpfen, worüber gesprochen wird. Doch anders als Namen, die es benennen, sind Begriffe dazu da, es zu begreifen. Namen stehen – als referentielle Zeichen – für etwas, auf das Begriffe – im operationalen Zugriff – angewandt werden.

Mit Freges Auffassung von Begriffen trat eine Wende in der tradierten Begriffstheorie ein, ohne sich mit dem ‚linguistic turn’ in der modernen Philosophie zu decken, die für die moderne Logik wegweisend werden sollte. Frege faßte Begriffe (und Beziehungen) als Funktionen auf, womit Funktionen im mathematischen Sinne gemeint sind. Der Funktionsbegriff selbst war inzwischen allerdings weit abstrakter gefaßt worden, als es im mathematischen Rahmen zuvor üblich war.

Die Idee Freges, Begriffe als Funktionen anzusehen, bildet den Ausgangspunkt und den Fluchtpunkt aller in der vorliegenden Arbeit angestellten Überlegungen. Sie gliedert sich in drei Teile, die sich – erstens – mit dem Konzept des Begriffs und – zweitens – mit dem Konzept der Funktion befassen, und – drittens – die Anwendung von Begriffen auf Gegenstände behandeln. Vorausgeschickt wird eine ausführliche Einleitung, um das thematische Spektrum zu umreißen und die wichtigsten Aspekte anzugeben, unter denen die komplementäre Konstellation von Begriffen und Gegenständen näher zu betrachten ist. Ein kurzer Ausklang beschließt die Überlegungen, die an Freges Begriffsauffassung anknüpfen und sich davon leiten lassen.

Meine Absicht ist es, die Grundlinien eines begriffstheoretischen Ansatzes zu skizzieren, anhand dessen sich eine Haltung zur Sprache und zur begrifflich erschließbaren Welt einnehmen läßt, die aus der konzeptuellen Gegenüberstellung von sprachlicher und gegenständlicher Sphäre keine strikte Trennung ableitet, sondern eine prozedurale Durchdringung beider Sphären erlaubt und sogar verlangt, ohne die sich die Anwendung und Anwendbarkeit von untereinander vernetzten Begriffen auf Gegenstände schlechterdings nicht verstehen ließe. Ich schließe mich an die von Frege angeregte Begriffsauffassung an, und versuche, ihren verzweigten Wurzeln nachzugehen; allerdings nicht, ohne an gewissen Punkten deutlich von den bei Frege vorgezeichneten Linien abzuweichen. Diese Abweichungen führen weiter aus der sprachlichen Sphäre heraus, als es bei Frege unter logischem Vorzeichen ohnehin der Fall ist, wenn er sich von der verbalen (Umgangs‑) Sprache in Richtung einer symbolischen (Begriffs‑) Sprache absetzt.

Mit der funktionalen Auffassung von Begriffen, um die es in der Arbeit geht, wird ein theoretischer Ansatz zur Erklärung oder Erläuterung von Begriffen im allgemeinen verfolgt, um Begriffe auf Funktionen zurückzuführen, wozu weitere Begriffe einzubeziehen sind, vor allem der Begriff der Funktion selbst. Gemeint sind, wie gesagt, mathematische Funktionen im abstrakten Sinne, die innerhalb des formallogisch abgesteckten Rahmens nicht anders fungieren als auf mathematischen, auf physikalischen, oder auf anderen Gebieten exakter Wissenschaften, aus denen Funktionen nicht wegzudenken sind. Das Konzept der Funktion, eingeführt von Leibniz und Newton, weitergeführt von den Bernoullis und von Euler, wurde seit Fourier, Lobatschewskij und Dirichlet auf ein Abstraktionsniveau gehoben, auf dem es weit über die anfänglichen analytisch-algebraisch gezogenen Grenzen hinaus reichte und unter anderem in die formale Logik Eingang fand. Außerdem, und das ist das andere Anliegen, das ich verfolge, werden neben Begriffen im allgemeinen auch besondere Begriffe näher erörtert. Entweder, weil sie begriffstheoretisch benötigt werden, oder weil es sich anbietet, sie paradigmatisch anzuführen oder exemplarisch zu streifen. Es geht um Begriffe, die zum Kern der Theorie gehören, wie auch um Begriffe, die als typische Beispiele dienen (angefangen von Funktion und Gegenstand, Benennung, Satz, Variable, Zahl, Menge, Regel, Abstraktion, Klassifikation, Identität und Existenz, Komprehension, Extension etc. – bis hin zu Ähnlichkeit, Gleichzeitigkeit, Endlichkeit vs. Unendlichkeit, oder Gewicht, Länge, Farbe, Temperatur). Lauter Begriffe, die entweder direkt in die Konzeption dessen, was Begriffe sind, eingehen, oder aber indirekt die Applikation von Begriffen verdeutlichen, wie ich die Anwendung von Begriffen auf Gegenstände nenne.

Das Stichwort der Anwendung oder Applikation markiert denn auch den Punkt, an dem ich mich am weitesten von Freges Auffassung entferne, um die ausgesprochen operationale Anwendungssituation von Begriffen überhaupt in den Blick zu bekommen, ohne die die begriffliche Sphäre von der gegenständlichen Sphäre abgekoppelt wäre. An einer Reihe weiterer Punkte läßt sich festmachen, welche Relevanz die operationale Applikation für eine Begriffstheorie funktionaler Prägung hat, und auch, wo und wodurch es zu Abweichungen von Frege oder vergleichbaren Begriffstheorien kommt, wenn die Funktionalität von Begriffen berücksichtigt wird, ohne die Applikation zu vernachlässigen. Folgende (elf) Punkte halte ich für die wichtigsten:

Es kommt darauf an, das außersprachliche Moment von Begriffen von Anfang an in den Blick zu nehmen, wobei im Zusammenspiel zwischen Namen und Begriffen die Rollenverteilung von entscheidender Bedeutung ist, so daß Begriffe (erstens) keine Namen sind (auch nicht im weitesten Sinne), oder jedenfalls keine Benennungen. Hinzu kommt (zweitens), daß das Wechselspiel von Begriffen untereinander, eingebunden in Begriffsnetze, nicht ohne Rückwirkung auf die Anwendung der vernetzten Begriffe verstanden werden kann, und umgekehrt, daß in die Anwendung von Begriffen womöglich andere Begriffe eingehen, die nicht außer acht zu lassen sind, weil Begriffe in ein Netz eingebunden sind. Dieses Netz ist geeignet, um Gegenstände begrifflich zu erfassen, weil es (drittens) schon anhand von Gegenständen geknüpft worden ist, auf die die vernetzten Begriffe zugeschnitten sind. Sonst wären beliebige Begriffe auf beliebige Gegenstände anwendbar. Wegen der nötigen Verflechtung von Begriffen, sind (viertens) nicht etwa attributive (oder klassifikatorische) Begriffe relationalen Begriffen (oder Beziehungen) vorzuziehen, weshalb ich letztere auch zu den Begriffen rechne, anders als es bei Frege oder anderen Autoren üblich ist. Das bedeutet (fünftens), daß mit der Anwendung von Begriffen auf Gegenstände im allgemeinen zwar eine Unterscheidung beabsichtigt ist, nämlich zwischen Anwendungsfällen mit unterschiedlichem Ausgang, doch nicht unbedingt zur Klassifikation von Gegenständen, sondern beispielsweise auch zur Komparation. Deshalb wird (sechstens) der Ausgang oder das Ergebnis der Anwendung mittels eines Wahrheitswerts signalisiert, und zwar bei allen Begriffen gleich, seien sie attributiv oder relational, also einstellig oder mehrstellig. In Aussagesätzen einfachster Art wird mitgeteilt, welcher Begriff auf welchen Gegenstand oder auf welche Gegenstände mit welchem Ergebnis angewandt worden ist. Insofern stellt (siebtens) die logische Satzstruktur keine Assoziation von Gegenständen dar, sondern die Applikation von Begriffen auf Gegenstände samt Resultat. Weil die logische Struktur mit der grammatischen Sprachstruktur nicht übereinstimmt, entwirft (achtens) die formale Logik eine eigene symbolische Sprache mit abweichenden Satzschemata, in der Begriffe als Funktionsausdrücke wiedergegeben werden. Dazu reicht es (neuntens) nicht aus, den Begriff der Funktion mengentheoretisch im extensionalen Sinne einzuführen, denn ohne eine intensionale Dimension würde das operationale Moment bei der Applikation von Funktionen, mithin die Anwendbarkeit von Begriffen, nicht erfaßt. Daß der operationale Prozeß die Möglichkeit des Fehlschlags einschließt, weil manche Begriffe auf manche Gegenstände oder in manchen Situationen unanwendbar sind, verleiht (zehntens) einem Begriff so etwas wie einen Horizont, jenseits dessen sich seine Anwendbarkeit verliert; anders als es Frege vorschwebte. Bleibt (elftens) noch der Punkt übrig, ein heikler Punkt übrigens, von dem aus einsichtig wird, daß ein Begriff keines zusätzlichen Kontakts zur Wirklichkeit bedarf, weil er – als Begriff – selbst eine Weise des Zugangs dazu ist. Auch das ergibt sich daraus, daß Begriffe von sich aus schon operationale Züge tragen; daraus also, daß Begriffe nichts anderes als anwendbare Funktionen sind.

Zur Aufhebung der unvermittelten Gegenüberstellung von Sprache und Welt, von Begriffsnetz und Wirklichkeit, oder wie immer die Separation zwischen sprachlicher Repräsentation und sachlichem Pendant ausgedrückt werden mag, bedarf es der Anwendung von Begriffen auf Gegenstände, sonst gäbe es keine sprachliche Darstellung von Wirklichkeit mittels der Begrifflichkeit. Über die begriffliche Dimension ist Sprache in die gegenständliche Sphäre der Welt eingekoppelt, was sich nicht erst zeigt, wenn zur Anwendung von Begriffen geeignete Gegenstände vorgefunden und herausgegriffen werden, sondern schon, wenn Begriffe anhand von Gegenständen so ausgebildet, und wenn Gegenstände gemäß Begriffen so ausgesucht werden, daß die Anwendung solcher Begriffe auf solche Gegenstände in der Regel gelingt, und nur in Ausnahmefällen mißlingt.

In der Einleitung werden alle genannten Punkte angesprochen, und es wird ihr innerer Zusammenhang herausgestellt, so daß sich die drei folgenden Kapitel dem Kern der funktionalen Auffassung von Begriffen zuwenden können. Sie beschäftigen sich mit Begriffen als Funktionen, mit dem ‚Begriff des Begriffs’ sozusagen, danach mit dem Begriff der Funktion in seiner modernen Ausprägung, und schließlich mit der Problematik der Anwendung von Begriffen auf Gegenstände; wobei durch die Konzeption von Begriffen als Funktionen ein Symmetriebruch zwischen den Termini des (Aussage‑) Satzes eingeleitet wird, der von der konzeptuellen Trennung zwischen Funktionen und Gegenständen herrührt, die sich an Begriffe (qua Funktionen) weitervererbt und in der Anwendung von Begriffen auf Gegenstände niederschlägt. Weil die Anwendung (oder Applikation) deshalb ausgesprochen operationale Züge annimmt, denn die Gegenstände werden als Argumente von Funktionen durch diese Funktionen mit Werten versehen, im Falle von Begriffen mit Wahrheitswerten, sind die unterschiedlichen Resultate der Begriffsanwendung auf verschiedene Gegenstände durch unterscheidbare Wahrheitswerte zu signalisieren. Im Mißlingen der Anwendung liegt eine weitere Möglichkeit, die begriffstheoretisch in Rechnung zu stellen ist. Ein Begriff läßt sich auf Gegenstände, die außerhalb seines Horizonts liegen, nicht ohne weiteres anwenden.

Die Anwendungssituation von Begriffen auf Gegenstände spiegelt sich in der logischen Struktur einfachster (Aussage‑) Sätze wieder. Ein Name (als Nominator) benennt, worüber im Satz etwas gesagt wird, während ein Begriff (als Prädikator) angibt, was darüber ausgesagt wird. Denn ohne Begriffe wären Sätze nichtssagend. Wie Sätze etwas aussagen und was sie aussagen, läßt sich nur verstehen, wenn die logische Satzstruktur funktional aufgefaßt wird, nämlich als Funktionsanwendung. Begriffe werden auf Gegenstände angewandt, welche, in Sätzen des einfachsten Typs, namentlich genannt werden. Deshalb kommt es im Aussagesatz (im allgemeinen) zu keiner Assoziation von Gegenständen, sondern es geht um eine Applikation auf Gegenstände, wenn ein Begriff auftritt.

(Copyright by Peter Gold)