Aufriß des Lambda-Kalküls (in Lisp-Notation)

Der Lambda-Kalkül als formallogische Abstraktion dessen, was Algorithmen sind, was sie leisten, wozu sie fähig sind und wozu nicht, bedient sich einer suggestiven Notation, die anders als die ebenso abstrakte Modellbildung durch die Turing-Maschine(n) alle algorithmischen Abläufe mathematisch-symbolisch (re‑)konstruiert, statt codierte Programme auf einer virtuellen Maschine (quasi‑)prozedural zu implementieren. Im Lambda-Kalkül wird der mathematische Kern von Algorithmen in die formale Symbolik selbst ‘eingelagert’ oder ‘eingebaut’, bei der Turing-Maschine wird der mathematische Sinn von Algorithmen in einen separaten Code ‘übertragen’ oder ‘übersetzt’. Es erinnert in gewisser Weise an die subtile, letztlich illusorische Differenz, wie sie zwischen einem Interpreter und einem Compiler entsteht, obwohl in beiden Fällen mit einer durchformalisierten Sprache gearbeitet wird, um ein ausführbares Programm zu schreiben. Die Modellierung abstrakter Strukturen durch den Lambda-Kalkül einerseits und durch die Turing-Maschine(n) andererseits erweckt den Eindruck, als sei, um es scholastisch auszudrücken, zwischen intentio recta und intentio obliqua zu unterscheiden. Wie gesagt, es handelt sich um eine Illusion, die allerdings alles andere als abwegig ist.

Wird von der üblichen Punkt-Notation des Lambda-Kalküls abgewichen, um sich den symbolischen Kalkül in Lisp-Notation anzusehen, hat das seinen eigenen Reiz, weil sich das funktionale/prozedurale Konzept in aller Unmittelbarkeit abzeichnet, wenn man mit Lisp oder Scheme vertraut ist. Daß sich die Lisp-Notation anbietet, um den Lambda-Kalkül, wie er von Alonzo Church konzipiert wurde, im Aufriß darzustellen, liegt daran, daß die Symbolik von Lisp (oder Scheme) eben daher stammt (mutatis mutandis). Es ergibt sich folgendes Bild:

Terme, Applikation und λ‑Abstraktion

• Terme sind Variable wie a, b, c, … x, y, z, …, die als elementare Terme gelten, sowie
• komplexe Terme der Gestalt (P Q) oder (λ (v) Q), wobei P und Q (irgendwelche) Terme sind, und v (irgend‑) eine Variable ist.
• Ein Term der Gestalt (P Q) heißt Applikation (des Operators P auf den Operanden Q).
• Und ein Term der Gestalt (λ (v) Q) heißt λ‑Abstraktion (oder einfach Abstraktion); wobei λ ein reserviertes Symbol des danach benannten Lambda-Kalküls ist.

Formeln

Als Formel gelten

• Reduktion P → Q
• Äquivalenz P = Q

wobei P und Q Terme sind.

Klammern (syntactic sugar)

• Bei einer geschachtelten Applikation kann eine linksassoziative Klammerung unterdrückt und ein Term der Gestalt ((P Q) R) als (P Q R) geschrieben werden.
• Eine geschachtelte Abstraktion der Gestalt (λ (u) (λ (v) Q)) kann abgekürzt durch den Ausdruck (λ (u v) Q) wiedergegeben werden, und entsprechend zu verstehen sind Ausdrücke wie (λ (u v w) Q), (λ (u v w x) Q) etc.

Freie vs. gebundene Variable

Eine Variable v, die im Term Q vorkommt, wird (darin) frei genannt, falls sie nicht im Geltungsbereich einer λ‑Abstraktion (λ (v) …) liegt, die einen (Sub‑) Term von Q bildet; andernfalls wird jene Variable als gebunden bezeichnet.

Umbenennung

Die Notation {y/x}Q steht für das Resultat einer (durchgängigen) Umbenennung der Variablen x in y innerhalb des Terms Q, egal ob sie darin frei oder gebunden vorkommt. Tritt die umzubenennende Variable im Term überhaupt nicht auf, bleibt er unverändert.

Substitution

Die Notation [P/x]Q repräsentiert das Resultat, das sich ergibt, wenn innerhalb des Terms Q die Variable x durch den Term P substituiert wird, und zwar überall wo sie darin frei vorkommt. Dabei dürfen allerdings keine freien Variablen des Terms P gebunden werden; zuvor sind deshalb im Term Q jene darin gebunden vorkommenden Variablen gleichen Namens auf geeignete Weise umzubenennen.

Axiome

1. Q → Q
2. Transitivität der Reduktion: mit P → Q und Q → R gilt P → R
3. Mit P → Q gilt (R P) → (R Q)
4. Mit P → Q gilt (P R) → (Q R)
5. Mit P → Q gilt (λ (v) P) → (λ (v) Q)
6. Reduktion bewahrt Semantik: mit P → Q gilt P = Q
7. Kommutativität der Äquivalenz: mit P = Q gilt Q = P
8. Transitivität der Äquivalenz: mit P = Q und Q = R gilt P = R
9. Beta-Reduktion: ((λ (u) Q) v) → [v/u]Q
10. Eta-Reduktion: (λ (v) (Q v)) → Q, falls v in Q nicht frei vorkommt

Kalkulation als Reduktion

Unter einer Kalkulation ist eine Sequenz von Termen zu verstehen, die jeweils durch Reduktion auseinander hervorgehen, also etwa P → Q → R → S → T; wobei sich, abgesehen vom Term am Anfang, jeder weitere Term jener Sequenz reduktiv aus dem unmittelbar vorher­gehenden ergibt. Der vorangehende Term bei einer Reduktion wird Redex genannt, und der nachfolgende wird dann als Redukt bezeichnet.

Term vs. Form

Ein Term heißt Form, falls keine freien Variablen darin vorkommen.

Normalform

Ein Term ist in Normalform, falls er keine (Sub‑) Terme der Gestalt ((λ (v) P) Q) oder (λ (v) (Q v)) enthält. Und daß ein Term eine Normalform hat, heißt: Es gibt eine Kalkulation, die, ausgehend von jenem Term, mit einem Term in Normalform endet.

Church/Rosser-Theorem

Wenn P = Q für zwei Terme P und Q gilt, dann existiert ein Term R, so daß P → R und Q → R gilt.

Korollar:

Wenn ein Term eine Normalform hat, so ist diese eindeutig.

Wert

Die Normalform eines Terms ist als sein Wert zu betrachten. Daher ist, falls der Term überhaupt eine Normalform hat, sein Wert durch Kalkula­tion zu finden. Und jene Kalkulation bricht ab oder terminiert, sobald eine Normalform erreicht ist. Dagegen gibt es bei einem Term ohne Normal­form keine terminierende Kalkulation.

Term ohne Normalform

Wegen

((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v)))

→ ((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v)))

hat der Term ((λ (v) (v v)) (λ (v) (v v))) keine Normalform.

Fundamentale Definitionen

Identität

id := (λ (u) u)

Wahrheitswerte

true := (λ (u v) u)

false := (λ (u v) v)

Logik-Operatoren

not := (λ (u) (u false true))

and := (λ (u v) (u (v true false) false))

or := (λ (u v) (u true (v true false)))

Listen-Operatoren

car := (λ (v) (v true))

cdr := (λ (v) (v false))

cons := (λ (u v w) (w u v))

Natürliche Zahlen

0 := id

n‘ := (cons n true)

Zählen mit Successor,  Predecessor,  Zero-Prädikator

succ := (λ (v) (cons v true))

pred := car

zerop := (λ (v) ((cdr v) false true))

Dotted-Pair

(P . Q) := (λ (w) (w P Q))

Fixpunkt‑Theorem

Zu jedem Term F existiert ein Term X, Fixpunkt von F genannt, so daß (F X) = X gilt.

Fixpunkt‑Konstruktion

X = ((λ (v) (F (v v))) (λ (v) (F (v v))))

Fixpunkt‑Operator

fxpt := (λ (f v) (f (v v))) (λ (v) (f (v v)))

Exemplarische Kalkulationen

(true id) = false

(true id)

→ ((λ (u v) u) id)

→ (λ (v) id)

→ (λ (v) (λ (w) w))

→ (λ (v w) w)

→ false

(true P Q) = P

(true P Q)

→ ((λ (u v) u) P Q)

→ P

(false P Q) = Q

(false P Q)

→ ((λ (u v) v) P Q)

→ Q

(not true) = false

(not true)

→ ((λ (w) (w false true)) true)

→ (true false true)

→ false

(not false) = true

 (not false)

→ ((λ (w) (w false true)) false)

→ (false false true)

→ true                                                                                                                                                                                (

(not (not true)) = true

(not (not true))

→ (not false)

→ true

(not (not false)) = false

(not (not false))

→ (not true)

→ false

(not not) = (λ (u v w) v)

(not not)

→ (λ (w) (w false true)) (λ (u) (u false true))

→ ((λ (u) (u false true)) false true)

→ ((false false true) true)

→ (true true)

→ ((λ (x u) x) (λ (v w) v))

→ (λ (u) (λ (v w) v))

→ (λ (u v w) v)

(not not true) = true

(not not true)

→ ((λ (u v w) v) true)

→ (λ (v w) v)

→ true

[!]    (not not false) = true

(not not false)

→ ((λ (u v w) v) false)

→ (λ (v w) v)

→ true

Extensionalität

Seien f und g Funktionen (im mathematisch üblichen Sinne). Wenn f(x) = g(x) für alle x gilt, dann ist f = g.

Beweis (mittels Eta-Reduktion):

Angenommen (P x) = (Q x) gilt für einen Term x, der nicht als freie Variable in den Termen P und Q vorkommt, dann gibt es einen Term T, so daß:

(P x) → T und (Q x) → T

Also:

(λ (x) (P x)) → (λ (x) T)

(λ (x) (Q x)) → (λ (x) T)

(λ (x) (P x)) = (λ (x) T)

(λ (x) (Q x)) = (λ (x) T)

(λ (x) (P x)) = (λ (x) (Q x))

(λ (x) (P x)) → P

(λ (x) (Q x)) → Q

(λ (x) (P x)) = P

(λ (x) (Q x)) = Q

P = Q

Proseminar zur Formalen Logik

Mein Proseminar zur Formalen Logik findet in der Woche vom 21.02.11 – 25.02.11 täglich von 09:00 – 18:00 Uhr in Raum IG 0.457 am Campus Westend der Universität Frankfurt statt. Es ist keine Voranmeldung erforderlich. Die Klausur wird voraussichtlich am 28.02.11 um 17:00 Uhr geschrieben. Empfohlene Literatur: Richard C. Jeffrey (& George Boolos),  Formal Logic. Its Scope and Limits, 3rd Edition, New York, Cambridge 1990/2004, oder 4th Edition (by John P. Burgess) 2006.

Proseminar: »Logik«

Mein Proseminar zur »Logik« im Sommersemester 2010 findet als Blockveranstaltung vom 15.03.10 – 19.03.10 von 09:00 – 18:00 Uhr in Raum IG 0.454 am Campus Westend der Universität Frankfurt statt.

Wittgensteins N-Operator im »Tractatus«

In Wittgensteins »Tractatus logico-philosophicus« wird ein logischer Operator eingeführt, um die allgemeine Satzstruktur (in formallogischer Hinsicht) zu klären: der N-Operator. Es handelt sich um einen Operator, dessen Operanden (Aussage-) Sätze sind, Propositionen genannt, die einen von zwei Wahrheitswerten annehmen. Der Operator stellt eine Wahrheitsfunktion dar, das heißt eine Funktion (im mathematischen Sinne), welche in Abhängigkeit von den jeweiligen Wahrheitswerten ihrer Argumente ebenfalls Wahrheitswerte als Funktionswerte liefert. Aber anders als übliche Funktionen mit fester Stellenzahl ist der N-Operator für eine beliebige Stellenzahl erklärt. Er wirkt nämlich als monadischer, als dyadischer, als triadischer etc. Operator, je nachdem welche Anzahl von Operanden auftritt, fungiert also für n Operanden als n-adischer oder n-stelliger Operator. Aus technischer Sicht der digitalen Schaltalgebra liegt der Typus des NOR-Gatters (NOR gate) mit variabler Anzahl von Anschlüssen für den Input vor, wobei mit NOR gemeint ist, daß die (kombinierte) Operation »not-or« ausgeführt wird. Der Output eines ähnlichen Schaltkreises, des NAND-Gatters (NAND gate), wird erzeugt, indem der anstehende Input gemäß der Operation »not-and« umgewandelt und anschließend ausgegeben wird, wobei beide Gatter die Negation »not« erst nach der logischen Verknüpfung der Eingangssignale gemäß der Disjunktion »or« beziehungsweise der Konjunktion »and« vornehmen. Wollte man digitale logische Schaltungen auf einen einzigen Typus von vorgefertigen Schaltkreisen reduzieren, wäre jeder der beiden logischen Bausteine geeignet, sämtliche anderen Typen zu ersetzen. In der formalen Logik läßt sich für den Fall von zwei Operanden die Wirkung des NOR-Gatters durch den Peirce-Pfeil symbolisieren, während dem NAND-Gatter das Symbol des Sheffer-Strichs entspricht. Beide werden definiert als:

Die genannten Operatoren sind dual zueinander. Sie waren Peirce (um 1880) beide bekannt, und er wußte auch was von Sheffer (1913) bewiesen wurde, daß nämlich die logischen Operationen in der Boolschen Algebra auf einen von beiden zurückführbar sind. Im »Tractatus« (1921) knüpft Wittgenstein an Sheffer an, Peirce hatte seine eigenen Ergebnisse nicht veröffentlicht, doch benannt ist der betreffende Operator inzwischen nach Peirce, nicht nach Sheffer.

In Form des N-Operators wird der Peirce-Pfeil verallgemeinert, indem keine bestimmte Anzahl von Operanden in dessen Definition angegeben wird: Es werde als Resultat der Operation der Wahrheitswert »falsch« geliefert, wenn und nur wenn mindestens einer der Operanden den Wert »wahr« annimmt, andernfalls sei das Resultat »wahr«. Dies charakterisiert den N-Operator in seiner Wirkung, ohne seine Anwendung an irgendeine feste Stellenzahl zu koppeln. Insofern egeben sich folgende logische Äquivalenzen:

Anhand des N-Operators lassen sich sämtliche logischen Junktoren einführen oder nachbilden, ob einstellig oder mehrstellig, wie Negator, Konjunktor, Disjunktor oder Adjunktor, Konditional, Bikonditional oder Äquivalenz etc. Unter einer Junktorenbasis ist eine Auswahl von Junktoren zu verstehen, mittels derer sämtliche anderen Junktoren definierbar sind. Solche Mengen von Junktoren werden als funktional vollständig bezeichnet. Beispielsweise bilden die beiden Junktoren der Negation und des Konditionals (materiale Implikation) eine Junktorenbasis, ebenso die Negation gemeinsam mit der Konjunktion oder der Disjunktion. Eine Junktorenbasis bildet auch der Peirce-Pfeil allein, ebenso der Sheffer-Strich allein. Wie sich der N-Operator dazu eignet, andere Junktoren zu definieren oder zu emulieren, zeigt sich an folgenden Entsprechungen:

Auf ähnliche Weise sind sämtliche weiteren n-adischen Operatoren der Junktorenlogik definierbar. Dasselbe ist mittels des Peirce-Pfeils oder des dazu dualen Sheffer-Strichs erreichbar, allerdings weisen beide eine feste Stellenzahl auf, was bei Wittgensteins N-Operator eben vermieden wird. Weniger elegant, doch nicht weniger allgemein wäre es, statt Wittgensteins N-Operator einen jener beiden zueinander dualen Operatoren zu wählen. Übrigens gehört zu Wittgensteins N-Operator ebenfalls ein dualer, der als solcher den Sheffer-Strich anstelle des Peirce-Pfeils verallgemeinert. In der Schaltalgebra entspricht, wie gesagt, dem Peirce-Pfeil ein NOR-Gatter und dem Sheffer-Strich ein NAND-Gatter, jeweils mit zwei Eingängen. Werden die beiden Eingänge leitend miteinander verbunden, das heißt kurzgeschlossen, so wirkt sowohl das NOR als auch das NAND-Gatter wie ein Inverter, welcher die Negation des digitalen Eingangssignals liefert, denn es gelten die Äquivalenzen:

In den angegebenen Formeln zeichnet sich ab, inwiefern im Rekurs auf den N-Operator von Wttgenstein die beabsichtigte strukturelle Vereinheitlichung verschachtelter Junktoren erzielbar ist, um die formale Diversität logischer Operatoren auf einen einzigen Operationstyp zu reduzieren. Wenn die Bedeutung eines Satzes nicht von oberflächlichen Umformungen beinflußt wird, sondern allein von dessen Wahrheitsbedingungen abhängt, wobei letztere in logischen Operatoren codiert sind, dient es der formalen Einheitlichkeit und Durchsichtigkeit, wenn auch nicht der Bequemlichkeit, eine einzige logische Operation als fundamental auszuzeichnen und andere Operationen dadurch auszudrücken. Ohne eine gewisse Konvergenz der komplexen Formen gleichbedeutender Propositionen ergäbe sich kein Anhaltspunkt, an dem so etwas wie eine allgemeine Satzform festzumachen wäre.

(Copyright by Peter Gold)

Die Summe in der Suppe

Ein kleines Mädchen, gelangweilt von den Gesprächsfetzen bei Tisch, die es kaum noch wahrnimmt, starrt in den Suppenteller. Dem Blick bietet sich ein nettes Durcheinander von Buchstaben dar, denn was da langsam erkaltet, ist eine Buchstabensuppe. So klein ist das Mädchen nun auch wieder nicht. Seit es gelernt hat zu buchstabieren und zu schreiben, weiß es, welcher Buchstabe auf welchen folgt, ähnlich wie beim Zählen ja eine Zahl nach der anderen kommt. Aber was kommt nach dem ‘Z’, dem letzten Buchstaben im Alphabet? Als sie darüber nachgrübelt, fällt der Kleinen plötzlich ein, daß ihr älterer Bruder mal von ‘Buchstabenrechnung’ gesprochen hat, die sie gerade durchnähmen. Erklärt hat er weiter nichts. Was das wohl sein mag, ‘Buchstabenrechnung’? Ist es etwa so, daß Buchstaben genau wie Zahlen nicht nur aufeinanderfolgen, sondern auch zusammengezählt werden können. Dann gäbe es wohl so eine Art ‘Suppenrechnung’, bei der Buchstaben statt Zahlen summiert würden.

Aber wie soll das geschehen? Das Mädchen überlegt angestrengt, und kommt schließlich auf eine ziemlich raffinierte Idee. Null oder Eins zu addieren, ist ein Kinderspiel. Im einen Fall bleibt man einfach bei der Zahl, zu der die Null addiert werden soll, und im anderen Fall zählt man eben Eins weiter, vorausgesetzt, man weiß wie man zu zählen hat. Jede der restlichen Zahlen läßt sich addieren, indem man stattdessen erst einmal die nächstkleinere Zahl addiert und danach um Eins weiterzählt. Und um die nächstkleinere Zahl zu addieren, kann man ja abermals deren nächstkleinere Zahl addieren und anschließend weiterzählen. So gelangt man irgendwann zur Zahl Null, die sich auf die erdenklich einfachste Weise addieren läßt, indem man so gut wie gar nichts tut. Danach muß nur noch schrittweise weitergezählt werden. Die Summe einer beliebigen Zahl mit dem Nachfolger einer beliebigen Zahl ist also dasselbe wie der Nachfolger der Summe beider Zahlen.

Kennt man den Nachfolger einer jeden Zahl, kann man Zahlen summieren. Warum sollte das bei Buchstaben anderes sein? Die ‘Suppensumme’, oder wie das sonst genannt werden könnte, läßt sich vielleicht so erklären: Zuerst wird irgendein Buchstabe bestimmt, der bei keiner Summenbildung etwas hinzutut, vielleicht ‘Z’. Ähnlich wie die Null bei den Zahlen soll ‘Z’ also nichts zur Suppensumme beitragen. Die Suppensumme eines beliebigen Buchstabens mit ‘Z’ ist und bleibt derselbe Buchstabe. Und nun weiter: Die Suppensumme eines beliebigen Buchstabens mit dem Nachfolger eines beliebigen Buchstabens ist dasselbe wie der Nachfolger der Suppensumme der beiden Buchstaben. Das wär’s dann. Jetzt ist nur noch offen, was der Nachfolger von ‘Z’ sein könnte. Mal angenommen, nach dem letzten Buchstaben im Alphabet käme einfach wieder der erste, denkt sich die Kleine, und murmelt gedankenverloren etwas vor sich hin, das so klingt wie: „… womit alles von vorn anfängt“.

Unbeabsichtigt zieht sie durch diese Worte die Aufmerksamkeit der anderen auf sich, und das Gespräch hört nun tatsächlich einmal auf, sich endlos zu wiederholen. Warum das Mädchen seine Suppe nicht esse, wird es von der Mutter gefragt, während der Vater darüber sinniert, wie oft man gewisse Dinge wohl sagen müsse, damit es endlich von all denjenigen gehört werde, die ja doch niemals zuhören. Indem es zögernd die Überlegungen erwähnt, die es gerade zur Suppensumme angestellt hat, versucht das Mädchen sich zu verteidigen. Doch es wird ihr nicht gelingen, nach der Schilderung ihres Gedankengangs wieder von sich abzulenken. Was vermutlich daran liegt, daß das Wort ‘Suppensumme’, kaum ausgesprochen, überall geistige Kräfte freisetzt, die sich anscheinend gegenseitig verstärken und schließlich in einem wirren Wortgewitter entladen, das erst einmal abgewettert sein will, bevor sich wieder gedankliche Klarheit einstellen kann.

So geht denn ein erster Gedankenblitz auf den Suppenteller nieder, als die Mutter ihre ungeteilte Wertschätzung der einfachen Kunst des Kopfrechnens entgegenbringt, die in Vergessenheit geraten sei, seit unverständliche schriftliche, mechanische und elektronische Hilfsmittel, und jetzt sogar Nahrungsmittel eingesetzt würden, um die mentale Muskulatur zu entlasten, wodurch sie immer weiter erschlaffe. Weshalb sonst würden Kinder, wenn die Finger nicht mehr ausreichen, nun schon auf die Suppe ausweichen, um Rechnungen auszuführen, die sie selbst kaum noch begreifen können. Der Bruder, im Kopfrechnen nicht firm genug, um in dieselbe Kerbe zu schlagen, erhellt die weitverbreitete Dunkelheit blitzartig durch seine fortgeschrittenen Kenntnisse der Buchstabenrechnung, die doch etwas ganz anderes sei, als seine unbedarfte Schwester glaube, denn da würde zwar mit Buchstaben gerechnet, aber das seien eigentlich gar keine Buchstaben sondern Zahlen. Auf die neugierige Frage des Mädchens, was für Zahlen denn Buchstaben seien, erhält es zur Antwort: unbekannte eben. Als dem Mädchen eine unübersehbare Enttäuschung ins Gesicht geschrieben steht, mischt sich der Vater ein und erklärt, es sei zwischen Konstanten und Variablen zu unterscheiden, und letztere würden mit Buchstaben statt mit Ziffern bezeichnet. Statt von Variablen spräche man auch von Veränderlichen, setzt er erläuternd hinzu, da sie veränderliche Zahlen darstellen. Welche Zahlen sich denn verändern können, will das Mädchen wissen, und ob sie solche Zahlen kenne, oder ob das ganz andere Zahlen seien als die, von denen sie bislang gehört habe. Es seien dieselben Zahlen, selbstverständlich, und die blieben auch immer unverändert, heißt es daraufhin, trotzdem könne man aber mit Variablen rechnen, und die seien dann aber nicht konstant, was ‘gleichbleibend’ bedeute, sondern die seien veränderlich, aber nur solange, wie sie unbekannt sind. Sobald sie bekannt seien, seien sie auch nicht mehr veränderlich. Ob ich wohl deshalb keine veränderlichen Zahlen kenne, fragt sich die Kleine, weil sie, wenn ich sie erstmal kenne, nicht mehr veränderlich sind? Das wäre ja seltsam, und kann so nicht gemeint sein. Noch bevor sie sich danach erkundigen kann, erklärt ihr Vater, das sei alles höhere Mathematik und schwer begreiflich zu machen, solange entsprechende Voraussetzungen fehlen; eine Auffassung, die vom Bruder anscheinend geteilt wird, da er seinem Vater vehement beipflichtet.

Während das geistige Gewitter langsam vorüberzieht und die Suppe unterdessen endgültig erkaltet, rührt das Mädchen schweigend im Teller herum, bis die anderen irgendwann einlenken und sich nochmals nach der Suppenrechnung erkundigen. Das ‘Z’ erinnert die Mutter an ‘Zero’, aber die Null käme beim Zählen gleich zu Anfang und nicht erst am Ende, weshalb eher das ‘A’ für diese Rolle in Frage käme. Der Bruder hält es für falsch, auf den letzten Buchstaben im Alphabet wieder den ersten folgen zu lassen, weil es dann ja gar keinen Anfang mehr gebe. Um zu rechnen, müsse man aber mit den kleinsten Zahlen anfangen, und könne dann erst zu immer größeren übergehen; also sei erstmal 1+1 auszurechnen, was 2 ergibt, und dann erst 1+2, und so weiter. Ohne Anfang wisse man nun nicht, wo überhaupt zu beginnen sei. Das Mädchen verweist auf die Erklärung der ‘Suppensumme’, in der gar keine Rede davon ist, welches der ‘kleinste’ Buchstabe ist. Stattdessen wird dort nur von Nachfolgern von Buchstaben gesprochen. Der Bruder hält eben dies für einen Fehler. Der Vater wischt all das vom Tisch, indem er die gegebene Erklärung kurzerhand als zirkulär bezeichnet. Sie drehe sich im Kreis, denn der Ausdruck ‘Suppensumme’ werde während der Erklärung mehrfach verwendet, womit jemand, der nicht schon wisse, was diese seltsame ‘Suppensumme’ sei, nichts anfangen könne. Um die Erklärung zu verstehen, so schließt er, müsse immer schon bekannt sein, was in der Erklärung erst erklärt werden soll. Also sei alles ziemlicher Unfug, und als solcher allenfalls ganz witzig. Nur ließe sich damit nichts berechnen.

Das kleine Mädchen unterläßt es, zu widersprechen, und starrt, von den vielfältigen Einwänden scheinbar überwältigt, wieder auf seinen Teller, auf dem sich inzwischen ein komplettes ABC zu einem Kreis geschlossen hat. Während sich das Gespräch der anderen längst um etwas anderes dreht, sucht das Mädchen seine beiden Initialen ‘K’ und ‘R’ aus den restlichen Nudeln mit dem Löffel heraus, und macht sich im Stillen daran, deren Suppensumme zu bilden. Wie langwierig diese Berechnung auch ist, langweiliger als manches andere ist sie auch nicht. Den Buchstaben, der dabei herauskommen wird, werden die anderen natürlich kennen, doch ohne zu ahnen, daß er das Ergebnis einer angeblich unmöglichen Rechnung ist.

(Copyright by Peter Gold)

Begriffe und Beziehungen

  

Zur funktionalen Auffassung von Begriffen und Beziehungen

Begriffe sind in die Sprache eingegliedert, stehen aber zugleich in Verbindung mit außersprachlichen Gegenständen. Gerade als sprachliche Bestandteile haben Begriffe etwas an sich, das über die Sprache hinausgreift, und darin ähneln sie den Namen, die die Sprache an dasjenige knüpfen, worüber gesprochen wird. Doch anders als Namen, die es benennen, sind Begriffe dazu da, es zu begreifen. Namen stehen – als referentielle Zeichen – für etwas, auf das Begriffe – im operationalen Zugriff – angewandt werden.

Mit Freges Auffassung von Begriffen trat eine Wende in der tradierten Begriffstheorie ein, ohne sich mit dem ‚linguistic turn’ in der modernen Philosophie zu decken, die für die moderne Logik wegweisend werden sollte. Frege faßte Begriffe (und Beziehungen) als Funktionen auf, womit Funktionen im mathematischen Sinne gemeint sind. Der Funktionsbegriff selbst war inzwischen allerdings weit abstrakter gefaßt worden, als es im mathematischen Rahmen zuvor üblich war.

Die Idee Freges, Begriffe als Funktionen anzusehen, bildet den Ausgangspunkt und den Fluchtpunkt aller in der vorliegenden Arbeit angestellten Überlegungen. Sie gliedert sich in drei Teile, die sich – erstens – mit dem Konzept des Begriffs und – zweitens – mit dem Konzept der Funktion befassen, und – drittens – die Anwendung von Begriffen auf Gegenstände behandeln. Vorausgeschickt wird eine ausführliche Einleitung, um das thematische Spektrum zu umreißen und die wichtigsten Aspekte anzugeben, unter denen die komplementäre Konstellation von Begriffen und Gegenständen näher zu betrachten ist. Ein kurzer Ausklang beschließt die Überlegungen, die an Freges Begriffsauffassung anknüpfen und sich davon leiten lassen.

Meine Absicht ist es, die Grundlinien eines begriffstheoretischen Ansatzes zu skizzieren, anhand dessen sich eine Haltung zur Sprache und zur begrifflich erschließbaren Welt einnehmen läßt, die aus der konzeptuellen Gegenüberstellung von sprachlicher und gegenständlicher Sphäre keine strikte Trennung ableitet, sondern eine prozedurale Durchdringung beider Sphären erlaubt und sogar verlangt, ohne die sich die Anwendung und Anwendbarkeit von untereinander vernetzten Begriffen auf Gegenstände schlechterdings nicht verstehen ließe. Ich schließe mich an die von Frege angeregte Begriffsauffassung an, und versuche, ihren verzweigten Wurzeln nachzugehen; allerdings nicht, ohne an gewissen Punkten deutlich von den bei Frege vorgezeichneten Linien abzuweichen. Diese Abweichungen führen weiter aus der sprachlichen Sphäre heraus, als es bei Frege unter logischem Vorzeichen ohnehin der Fall ist, wenn er sich von der verbalen (Umgangs‑) Sprache in Richtung einer symbolischen (Begriffs‑) Sprache absetzt.

Mit der funktionalen Auffassung von Begriffen, um die es in der Arbeit geht, wird ein theoretischer Ansatz zur Erklärung oder Erläuterung von Begriffen im allgemeinen verfolgt, um Begriffe auf Funktionen zurückzuführen, wozu weitere Begriffe einzubeziehen sind, vor allem der Begriff der Funktion selbst. Gemeint sind, wie gesagt, mathematische Funktionen im abstrakten Sinne, die innerhalb des formallogisch abgesteckten Rahmens nicht anders fungieren als auf mathematischen, auf physikalischen, oder auf anderen Gebieten exakter Wissenschaften, aus denen Funktionen nicht wegzudenken sind. Das Konzept der Funktion, eingeführt von Leibniz und Newton, weitergeführt von den Bernoullis und von Euler, wurde seit Fourier, Lobatschewskij und Dirichlet auf ein Abstraktionsniveau gehoben, auf dem es weit über die anfänglichen analytisch-algebraisch gezogenen Grenzen hinaus reichte und unter anderem in die formale Logik Eingang fand. Außerdem, und das ist das andere Anliegen, das ich verfolge, werden neben Begriffen im allgemeinen auch besondere Begriffe näher erörtert. Entweder, weil sie begriffstheoretisch benötigt werden, oder weil es sich anbietet, sie paradigmatisch anzuführen oder exemplarisch zu streifen. Es geht um Begriffe, die zum Kern der Theorie gehören, wie auch um Begriffe, die als typische Beispiele dienen (angefangen von Funktion und Gegenstand, Benennung, Satz, Variable, Zahl, Menge, Regel, Abstraktion, Klassifikation, Identität und Existenz, Komprehension, Extension etc. – bis hin zu Ähnlichkeit, Gleichzeitigkeit, Endlichkeit vs. Unendlichkeit, oder Gewicht, Länge, Farbe, Temperatur). Lauter Begriffe, die entweder direkt in die Konzeption dessen, was Begriffe sind, eingehen, oder aber indirekt die Applikation von Begriffen verdeutlichen, wie ich die Anwendung von Begriffen auf Gegenstände nenne.

Das Stichwort der Anwendung oder Applikation markiert denn auch den Punkt, an dem ich mich am weitesten von Freges Auffassung entferne, um die ausgesprochen operationale Anwendungssituation von Begriffen überhaupt in den Blick zu bekommen, ohne die die begriffliche Sphäre von der gegenständlichen Sphäre abgekoppelt wäre. An einer Reihe weiterer Punkte läßt sich festmachen, welche Relevanz die operationale Applikation für eine Begriffstheorie funktionaler Prägung hat, und auch, wo und wodurch es zu Abweichungen von Frege oder vergleichbaren Begriffstheorien kommt, wenn die Funktionalität von Begriffen berücksichtigt wird, ohne die Applikation zu vernachlässigen. Folgende (elf) Punkte halte ich für die wichtigsten:

Es kommt darauf an, das außersprachliche Moment von Begriffen von Anfang an in den Blick zu nehmen, wobei im Zusammenspiel zwischen Namen und Begriffen die Rollenverteilung von entscheidender Bedeutung ist, so daß Begriffe (erstens) keine Namen sind (auch nicht im weitesten Sinne), oder jedenfalls keine Benennungen. Hinzu kommt (zweitens), daß das Wechselspiel von Begriffen untereinander, eingebunden in Begriffsnetze, nicht ohne Rückwirkung auf die Anwendung der vernetzten Begriffe verstanden werden kann, und umgekehrt, daß in die Anwendung von Begriffen womöglich andere Begriffe eingehen, die nicht außer acht zu lassen sind, weil Begriffe in ein Netz eingebunden sind. Dieses Netz ist geeignet, um Gegenstände begrifflich zu erfassen, weil es (drittens) schon anhand von Gegenständen geknüpft worden ist, auf die die vernetzten Begriffe zugeschnitten sind. Sonst wären beliebige Begriffe auf beliebige Gegenstände anwendbar. Wegen der nötigen Verflechtung von Begriffen, sind (viertens) nicht etwa attributive (oder klassifikatorische) Begriffe relationalen Begriffen (oder Beziehungen) vorzuziehen, weshalb ich letztere auch zu den Begriffen rechne, anders als es bei Frege oder anderen Autoren üblich ist. Das bedeutet (fünftens), daß mit der Anwendung von Begriffen auf Gegenstände im allgemeinen zwar eine Unterscheidung beabsichtigt ist, nämlich zwischen Anwendungsfällen mit unterschiedlichem Ausgang, doch nicht unbedingt zur Klassifikation von Gegenständen, sondern beispielsweise auch zur Komparation. Deshalb wird (sechstens) der Ausgang oder das Ergebnis der Anwendung mittels eines Wahrheitswerts signalisiert, und zwar bei allen Begriffen gleich, seien sie attributiv oder relational, also einstellig oder mehrstellig. In Aussagesätzen einfachster Art wird mitgeteilt, welcher Begriff auf welchen Gegenstand oder auf welche Gegenstände mit welchem Ergebnis angewandt worden ist. Insofern stellt (siebtens) die logische Satzstruktur keine Assoziation von Gegenständen dar, sondern die Applikation von Begriffen auf Gegenstände samt Resultat. Weil die logische Struktur mit der grammatischen Sprachstruktur nicht übereinstimmt, entwirft (achtens) die formale Logik eine eigene symbolische Sprache mit abweichenden Satzschemata, in der Begriffe als Funktionsausdrücke wiedergegeben werden. Dazu reicht es (neuntens) nicht aus, den Begriff der Funktion mengentheoretisch im extensionalen Sinne einzuführen, denn ohne eine intensionale Dimension würde das operationale Moment bei der Applikation von Funktionen, mithin die Anwendbarkeit von Begriffen, nicht erfaßt. Daß der operationale Prozeß die Möglichkeit des Fehlschlags einschließt, weil manche Begriffe auf manche Gegenstände oder in manchen Situationen unanwendbar sind, verleiht (zehntens) einem Begriff so etwas wie einen Horizont, jenseits dessen sich seine Anwendbarkeit verliert; anders als es Frege vorschwebte. Bleibt (elftens) noch der Punkt übrig, ein heikler Punkt übrigens, von dem aus einsichtig wird, daß ein Begriff keines zusätzlichen Kontakts zur Wirklichkeit bedarf, weil er – als Begriff – selbst eine Weise des Zugangs dazu ist. Auch das ergibt sich daraus, daß Begriffe von sich aus schon operationale Züge tragen; daraus also, daß Begriffe nichts anderes als anwendbare Funktionen sind.

Zur Aufhebung der unvermittelten Gegenüberstellung von Sprache und Welt, von Begriffsnetz und Wirklichkeit, oder wie immer die Separation zwischen sprachlicher Repräsentation und sachlichem Pendant ausgedrückt werden mag, bedarf es der Anwendung von Begriffen auf Gegenstände, sonst gäbe es keine sprachliche Darstellung von Wirklichkeit mittels der Begrifflichkeit. Über die begriffliche Dimension ist Sprache in die gegenständliche Sphäre der Welt eingekoppelt, was sich nicht erst zeigt, wenn zur Anwendung von Begriffen geeignete Gegenstände vorgefunden und herausgegriffen werden, sondern schon, wenn Begriffe anhand von Gegenständen so ausgebildet, und wenn Gegenstände gemäß Begriffen so ausgesucht werden, daß die Anwendung solcher Begriffe auf solche Gegenstände in der Regel gelingt, und nur in Ausnahmefällen mißlingt.

In der Einleitung werden alle genannten Punkte angesprochen, und es wird ihr innerer Zusammenhang herausgestellt, so daß sich die drei folgenden Kapitel dem Kern der funktionalen Auffassung von Begriffen zuwenden können. Sie beschäftigen sich mit Begriffen als Funktionen, mit dem ‚Begriff des Begriffs’ sozusagen, danach mit dem Begriff der Funktion in seiner modernen Ausprägung, und schließlich mit der Problematik der Anwendung von Begriffen auf Gegenstände; wobei durch die Konzeption von Begriffen als Funktionen ein Symmetriebruch zwischen den Termini des (Aussage‑) Satzes eingeleitet wird, der von der konzeptuellen Trennung zwischen Funktionen und Gegenständen herrührt, die sich an Begriffe (qua Funktionen) weitervererbt und in der Anwendung von Begriffen auf Gegenstände niederschlägt. Weil die Anwendung (oder Applikation) deshalb ausgesprochen operationale Züge annimmt, denn die Gegenstände werden als Argumente von Funktionen durch diese Funktionen mit Werten versehen, im Falle von Begriffen mit Wahrheitswerten, sind die unterschiedlichen Resultate der Begriffsanwendung auf verschiedene Gegenstände durch unterscheidbare Wahrheitswerte zu signalisieren. Im Mißlingen der Anwendung liegt eine weitere Möglichkeit, die begriffstheoretisch in Rechnung zu stellen ist. Ein Begriff läßt sich auf Gegenstände, die außerhalb seines Horizonts liegen, nicht ohne weiteres anwenden.

Die Anwendungssituation von Begriffen auf Gegenstände spiegelt sich in der logischen Struktur einfachster (Aussage‑) Sätze wieder. Ein Name (als Nominator) benennt, worüber im Satz etwas gesagt wird, während ein Begriff (als Prädikator) angibt, was darüber ausgesagt wird. Denn ohne Begriffe wären Sätze nichtssagend. Wie Sätze etwas aussagen und was sie aussagen, läßt sich nur verstehen, wenn die logische Satzstruktur funktional aufgefaßt wird, nämlich als Funktionsanwendung. Begriffe werden auf Gegenstände angewandt, welche, in Sätzen des einfachsten Typs, namentlich genannt werden. Deshalb kommt es im Aussagesatz (im allgemeinen) zu keiner Assoziation von Gegenständen, sondern es geht um eine Applikation auf Gegenstände, wenn ein Begriff auftritt.

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